Μέχρι να ολοκληρωθούν οι Πανελλήνιες και να δούμε και εκεί τί θα προκύψει, μετά την απογοητευτική για εξεταστές και εξεταζόμενους περίοδο των εισαγωγικών σε Πρότυπα Γυμνάσια και Λύκεια, ας κάνουμε ένα διάλειμμα. Πηγαίνοντας πίσω μερικούς αιώνες.
Το 1766 μια ασθένεια δημιουργεί στον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ(Leonard Euler) ένα πολύ σοβαρό πρόβλημα στα μάτια ελαττώνοντας την όρασή του σε απελπιστικό βαθμό. Όχι όμως και την θέλησή του να συνεχίσει την έρευνά του στα Μαθηματικά, την Οπτική και την Αστρονομία. Ο Όιλερ είναι αυτός που έχει πει, μετά από ό,τι του συνέβη, και το συγκλονιστικό: «Τουλάχιστον τώρα τίποτα δεν θα διασαλεύει την προσοχή μου».
Ανάμεσα στα πολλά ενδιαφέροντα που μας άφησε ο τεράστιος αυτός επιστήμονας ήταν και ένας από τους απλούστερους τρόπους για την λύση εξισώσεων της μορφής: αχ+βψ = γ με α,β,γ,χ,ψ ακεραίους και α, β διάφορους του μηδενός. Πρόκειται για μια από τις λεγόμενες Διοφαντικές εξισώσεις και ο ίδιος ο Ελβετός μαθηματικός επινόησε το εξής πρόβλημα για να γίνει κατανοητός ο τρόπος που πρότεινε για την λύση αυτών των εξισώσεων:
«Ένας ζωέμπορος αγοράζει άλογα και βοοειδή από την ζωοπανήγυρη και δίνει συνολικά 1770 «τάλιρα»( ένα νόμισμα εκείνης της εποχής). Έδωσε 21 τάλιρα για κάθε άλογο που αγόρασε και 31 τάλιρα το κεφάλι για τα βοοειδή. Πόσα ζώα αγόρασε συνολικά;»
Η (Διοφαντική) εξίσωση που έφτιαξε ο ίδιος ο Όιλερ είναι: 31χ+21ψ=1770
Ο τρόπος που την έλυσε υποδεικνύει και το πώς θα έπρεπε να αντιμετωπίζουμε τέτοιες εξισώσεις με δυο αγνώστους σε πρώτο βαθμό.
Βήμα1: Εστιάζουμε στον μικρότερο συντελεστή που εδώ είναι ο 21. Λύνουμε ως προς τον άγνωστό αυτόν και προκύπτει: ψ= [(-31χ+1770)/21]
Βήμα2: Γράφουμε τους υπόλοιπους με βάση τον μικρότερο συντελεστή, εδώ τον 21. Δηλαδή 31 = 1×21+10 1770= 84×21 + 6 και προκύπτει η ψ= -χ+84+ [(-10χ+6)/21]
Βήμα3: Αφού το ψ είναι ακέραιος θα πρέπει υποχρεωτικά και η (-10χ+6)/21 να είναι ένας ακέραιος ας πούμε ο τ άρα θα έχουμε τ= (-10χ+6)/21 ή 21τ=-10χ+6.
Βήμα4: Αυτή την τελευταία λύνουμε ως προς χ διότι έχει τον μικρότερο συντελεστή. Προκύπτει ότι χ=(-21τ+6)/10. Το 21τ γράφεται και 20τ+τ για να πάρουμε χ= -2τ + (-τ+6)/10
Βήμα5: Θέτουμε κ= -(τ+6)/10 οπότε τ= -10κ+6. Πηγαίνοντας τώρα προς τα πίσω και αντικαθιστώντας θα έχουμε: τ= -10κ+6 , χ= -2τ+κ=21κ-12 και ψ=-31κ+102
Βήμα6: Για κ=0 προκύπτει χ=-12 που απορρίπτεται. Παρατηρούμε ότι για κ>3 ψ<0 που επίσης απορρίπτεται. Άρα λύσεις έχουμε για τιμές του κ= 1, 2, 3. Άρα με τρεις τρόπους μπορούσε ο έμπορος να ξοδέψει τα 1770 τάλιρα. Με ( κ=1 είναι χ=9, ψ=71), (κ=2 χ=30, ψ=40), (κ=3, χ=51, ψ=9).
Πρόκειται για μια από τις πιο κατανοητές και εύχρηστες μεθόδους με πολλές εφαρμογές.
Και άλλα προβλήματα;
1. Για τους μικρότερους φίλους μας ρωτάμε τα εξής: α)Το άθροισμα δυο πρώτων αριθμών είναι ίσον με 888. Από τις πολλές περιπτώσεις ζευγαριών που υπάρχουν ψάχνουμε εκείνο το ζευγάρι που δίνει και το μέγιστο γινόμενο. Ζητούμε τον έναν από τους αριθμούς του ζευγαριού αυτού. Για να βοηθήσουμε δίνουμε ως πιθανούς τους 479, 443, 439 και 401. Ποιος μπορεί να είναι τελικά; β) Πόσοι θετικοί ακέραιοι είναι το διπλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων τους; Π.χ. αν αβ είναι ένας από αυτούς θα πρέπει να ισχύει ότι αβ=2(α+β). Για βοήθεια(;) δίδονται οι εξής πιθανές απαντήσεις Ένας, Δυο, Άπειροι, Κανένας.
2. Μας δίδονται ν το πλήθος αβγά ένα-ένα. Ζυγίζουμε το πρώτο και ας υποθέσουμε πως το βάρος του είναι χ. Ζυγίζουμε το δεύτερο και βρίσκουμε ότι ο μέσος όρος των βαρών πρώτου και δευτέρου είναι κατά ένα γραμμάριο μεγαλύτερος από το χ. Μας δίνουν τρίτο αβγό, βρίσκουμε τον μέσο όρο των βαρών των τριών και βρίσκουμε πως είναι κατά ένα γραμμάριο μεγαλύτερος από τον προηγούμενο μέσο όρο των δυο αβγών. Αυτό συνεχίζεται έτσι μς τα επόμενα αβγά. Πόσο ζυγίζει το νιοστό αβγό;
Ευτυχώς εδώ έχουμε και τις λύσεις
1. Απάντηση
α ) Το μισό του 888 είναι το 444. Κάπου εκεί θα πρέπει να αναζητήσουμε και τους δυο αυτούς αριθμούς που θα δίδουν και το μέγιστο γινόμενο. Άρα θα αφήσουμε να εξετάσουμε τελευταίους τους 479 και 401. Μπορεί να είναι ο 443; Όχι διότι 888-443 = 445 που δεν είναι πρώτος διότι διαιρείται ακριβώς από το 5. Ο 439 όμως δίνει 888-439= 449 που είναι πρώτος. β) Ας υποθέσουμε ότι ο ζητούμενος είναι ένας τριψήφιος θετικός αριθμός ΑΒΓ. Τότε θα ισχύει: 100Α+10Β+Γ=2(Α+Β+Γ) = 2Α+2Β+2Γ που δίνει 98Α + 8Β +Γ =2Γ ή 98Α + 8Β = Γ. Από αυτήν την τελευταία προκύπτει ότι Α=0 υποχρεωτικά και επομένως 8Β = Γ . Έτσι θα έχουμε ή Β=0 άρα και Γ=0 ενώ για Β=1 προκύπτει Γ=8. Και ο αριθμός θα είναι ο ΒΓ=18. Ένας και μοναδικός λοιπόν είναι ο ακέραιος με τιμή διπλάσια από το άθροισμα των ψηφίων του.
2. Απάντηση
Για να γίνει πιο κατανοητό αυτό το γενικό που ζητούμε θεωρούμε την περίπτωση που ν=5. Με 1 αβγό ο μέσος όρος είναι χ. Με δυο αβγά θα έχουμε την σχέση: (χ1+χ2)/2= χ1+1 Και για τα επόμενα τρία θα είναι:
(χ1+χ2+χ3)/3 = (χ1+1)+1 = χ1+2
(χ1+χ2+χ3+χ4)/4 = (χ1+2)+1 ή (χ1+χ2+χ3+χ4) = 4(χ1+3)
(χ1+χ2+χ3+χ4+χ5)/5 = (χ1+3)+1 ή (χ1+χ2+χ3+χ4+χ5)/5 = (χ1+4) ή
(χ1+χ2+χ3+χ4+χ5)= 5(χ1+4). Άρα χ5= 5(χ1+4) – (χ1+χ2+χ3+χ4) ή
Χ5= 5(χ1+4) – 4(χ1+3) ή χ5 = χ1+8 άρα χ5= 58.
Ας αναλύσουμε το χ5 = χ1+8 σε χ5 = χ1 + 2×4.
Από αυτήν φαίνεται εύκολα ότι για ν θα είναι χν = χ1 +2(ν-1)
Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr
