Ο Μίκαελ Χάρις(Michael Harris), 71ετών σήμερα, καθηγητής Μαθηματικών στο Columbia, με ειδίκευση στην θεωρία Αριθμών, έγραψε ένα πολύ ενδιαφέρον βιβλίο(που μακάρι κάποιος εκδοτικός οίκος να το παρουσίαζε και στους Έλληνες αναγνώστες) με τίτλο «Μαθηματικά χωρίς απολογίες».

Παραθέτω ένα μικρό κομμάτι από τον πρόλογό του που πιστεύω πως θα το βρουν αν όχι χρήσιμο, τουλάχιστον ενδιαφέρον οι φίλοι που μας διαβάζουν: «Είναι τόσο δύσκολο να εξηγήσουμε τι κάνουμε — όπως το έθεσε ο David Mumford, ένας από τους πρώην δασκάλους μου, «Έχω συνηθίσει, ως επαγγελματίας μαθηματικός, να ζω σε ένα είδος κενού, περιτριγυρισμένος από ανθρώπους που δηλώνουν με ένα περίεργο είδος υπερηφάνειας ότι είναι «μαθηματικά αναλφάβητοι» — που όταν, σε σπάνιες περιπτώσεις, κάνουμε την προσπάθεια, καταλήγουμε τόσο απογοητευμένοι που αφήσαμε τον συνομιλητή μας αβέβαιο, ή από τις χονδροειδείς παραποιήσεις στις οποίες έχουμε καταφύγει, ή συνήθως και τα δύο ταυτόχρονα, που αφήνουμε τις επόμενες ερωτήσεις αναπάντητες: Ποιοι είναι οι στόχοι μας; Γιατί το κάνουμε;

Αλλά μερικές φορές φτάνουμε στο ερώτημα «γιατί», και οι λόγοι που συνήθως προβάλλουμε είναι τριών ειδών. Δύο από αυτούς είναι προφανώς λανθασμένοι. Τα Μαθηματικά δικαιολογούνται συνήθως είτε λόγω της καρποφορίας τους για πρακτικές εφαρμογές είτε λόγω της μοναδικής τους ικανότητας να αποδεικνύουν αλήθειες που δεν υπόκεινται σε αμφιβολία, αποδεικτικά βέβαιες (για να αναβιώσουμε τον όρο apodictically certain, που ο Καντ δανείστηκε από τον Αριστοτέλη).

Όποια και αν είναι η αξία αυτών των επιχειρημάτων, δεν είναι αξιόπιστα ως κίνητρα για αυτό που ονομάζεται “Kαθαρά Mαθηματικά”(Pure Mathematics) – τα (Καθαρά)Μαθηματικά, δηλαδή, που δεν έχουν σχεδιαστεί για να λύσουν ένα συγκεκριμένο φάσμα πρακτικών προβλημάτων – καθώς τα κίνητρα προέρχονται εκτός των Μαθηματικών, και οι δικαιολογίες που προτείνονται υπονοούν ότι οι (καθαροί)μαθηματικοί είναι είτε αποτυχημένοι μηχανικοί είτε αποτυχημένοι φιλόσοφοι.

Αντίθετα, το κίνητρο που συνήθως αναγνωρίζεται είναι αισθητικό, ότι οι μαθηματικοί αναζητούν την ομορφιά, ότι τα Μαθηματικά είναι στην πραγματικότητα τέχνη όσο και επιστήμη, ή ότι είναι ακόμη περισσότερο τέχνη παρά επιστήμη (G. H. Hardy). Τα Μαθηματικά που υπερασπίζονται με αυτόν τον τρόπο είναι προφανώς ανοιχτά στην κατηγορία της στειρότητας και της αυτοϊκανοποίησης, ανεκτά μόνο λόγω αυτών των πρακτικών εφαρμογών (όπως ραντάρ, ηλεκτρονική πληροφορική, κρυπτογραφία για ηλεκτρονικό εμπόριο, και συμπίεση εικόνας, για να μην αναφέρουμε τον έλεγχο των κατευθυνόμενων πυραύλων, την εξόρυξη δεδομένων ή την τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης) και επειδή, τουλάχιστον προς το παρόν, τα πανεπιστήμια εξακολουθούν να χρειάζονται Μαθηματικούς για να εκπαιδεύσουν αυθεντικά χρήσιμους πολίτες».

Για να καταλήξει λίγες γραμμές παρακάτω στο εξής: «Όλα αυτά καταλήγουν να θέσουν ένα μεγάλο ερωτηματικό για το μέλλον των Μαθηματικών ως ανθρώπινης δραστηριότητας».

Έρχονται και προβλήματα

1. Περπατάς στο δάσος και συναντάς τον κ. Σκίουρο και τον κ. Λαγό. Γνωρίζεις ότι ο κ. Λαγός λέει ψέματα κάθε Πέμπτη, Παρασκευή και Σάββατο, τις υπόλοιπες ημέρες της εβδομάδας λέει αλήθεια. Γνωρίζεις επίσης ότι ο κ. Σκίουρος λέει ψέματα κάθε Δευτέρα, Τρίτη, Τετάρτη και τις υπόλοιπες ημέρες της εβδομάδας λέει αλήθεια. Μιλάει πρώτος ο κ. Σκίουρος και λέει: «Χθες είπα ένα ψέμα». Αμέσως μετά ο κ. Λαγός προσθέτει: «Και εγώ χθες είπα ένα ψέμα». Ποιός από τους δυο λέει αλήθεια;

2. Σπάνια βάζουμε προβλήματα τριγωνομετρίας αλλά αυτό αξίζει την προσοχή μας: Να δειχθεί ότι cos(2π/17) ⋅ cos(4π/17) ⋅ cos(6π/17) ⋅ … ⋅ cos(16π/17) = 1/256

Αλλά ευτυχώς εδώ είναι και οι λύσεις

1. Απάντηση

Παρ’ όλο που φαίνεται απλό αυτό το πρόβλημα, θα φανούν πολύ χρήσιμα… ένα μολύβι και ένα χαρτί. Διότι ένας πίνακας όπως ο παρακάτω θα μας δείξει πολλά:

Δευτ.ΤριτηΤεταρ.ΠεμπτηΠαρασκ.ΣάββατοΚυριακ
ΛΑΑΑΨΨΨΑ
ΣΨΨΨΑΑΑΑ

Είναι πιθανόν το βλέμμα να πέσει πρώτα στην Κυριακή όπου και οι δυο λένε Αλήθεια αλλά, προσοχή. Την προηγούμενη ημέρα ο Λαγός πράγματι είπε Ψέμα αλλά ο Σκίουρος που έπρεπε και αυτός να πει Αλήθεια είπε ότι το Σάββατο είπε Ψέμα; Άτοπο. Άρα η Κυριακή δεν δίνει την απάντηση. Εκεί όμως που τα όσα είπαν ταιριάζουν είναι η Πέμπτη. Διότι ο Λαγός αυτό που λέει θα είναι Ψέμα, δηλαδή ότι είπε την Τετάρτη Ψέμα αφού είναι ημέρα που λέει Αλήθεια. Ο Σκίουρος όμως που την Πέμπτη λέει μόνον αλήθεια είπε ότι την Τετάρτη είπε ένα Ψέμα και αυτό ισχύει διότι την Τετάρτη λέει μόνον ψέματα. Άρα ο Σκίουρος την Πέμπτη είπε αλήθεια.

2. Απάντηση

Χρησιμοποιούμε τον γνωστό τύπο: sin(2x)=2sin(x)cos(x) άρα cos(x) = [sin(2x)/2 sin(x)]. Κάνουμε το αντίστοιχο και με τους άλλους όρους οπότε η αρχική παράσταση θα γίνει:
cos(2x)cos(4x)cos(6x)…cos(16x) = (1/ 28) [sin(4x)sin(8x)sin(12x)…sin(32x)]/ sin(2x)sin(4x)sin(6x)…sin(16x).

Αφού γίνουν οι απλοποιήσεις θα μείνει ότι:

cos(2x)cos(4x)cos(6x)…cos(16x)= (1/256)[ sin(20x)sin(24x)sin(28x)sin(32x)]/ [sin(2x)sin(6x)sin(10x)sin(14x)] .

Είναι ώρα να θυμηθούμε πως το x = π/17. Δηλαδή μια γωνία περίπου 10 μοιρών και αυτό θα είναι χρήσιμο διότι το ημίτονό της είναι θετικό ενώ της –(π/17) είναι αρνητικό. Αντικαθιστούμε και εδώ θα γίνει ένα μικρό κόλπο: sin(20x) = sin(20π/17)= sin[(34-14)π/17] = sin[(34)π/17 -14π/17] = sin[(2π -14π/17)]= sin[( -14π/17)]= −sin(14π/17)= – sin(14x).

Με τον ίδιο συλλογισμό επειδή 24x=(34-10)x sin(24x) =−sin(10x), 28x=(34-6)x άρα sin(28x) =−sin(6x) και 32x=(34-2)x οπότε και sin(32x) =−sin(2x). Είναι όλα διάφορα του μηδενός, απλοποιούμε σε αριθμητή και παρονομαστή και μένει το (1/256).

Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr