Πνευματική γυμναστική: Μετρώντας τους σφυγμούς στο σκοτάδι

Στη σειρά του ΒΗΜΑ-Science για όσους θέλουν να φτιάξουν ξανά τη… σχέση τους με τα Μαθηματικά, αυτή την Κυριακή, που είναι και η εκατοστή παρέα με τους αναγνώστες μας, αρχίζουμε να δίνουμε νέα προβλήματα δικής τους επινόησης ή/και διαφορετικές λύσεις σε προηγούμενα.

Κάναμε πολλούς καινούργιους φίλους μέσα από αυτή τη σελίδα. Σήμερα λοιπόν που γιορτάζουμε την εκατοστή συνέχειά της, αλλά και για κάποιες από τις επόμενες, τους παραχωρούμε τον λόγο. Το εναρκτήριο λάκτισμα δίνει ο κ. Θεοδόσιος Π. Τάσιος, ομότιμος καθηγητής του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου, τακτικός αναγνώστης και εμψυχωτής της σελίδας αυτής, με ένα πρόβλημα που το επιγράφει «Η μέτρηση του σφυγμού στο σκοτάδι».  Οπως γράφει λοιπόν, «Βρίσκεσθε σε ολοσκότεινο δωμάτιο. Δεν βλέπετε το ρολόι, ακούτε όμως το τικ-τακ των δευτερολέπτων. Πώς μπορείτε να μετρήσετε τον καρδιακό σας ρυθμό;».

Ακολουθούν η απάντηση και στη συνέχεια η απόδειξή της. Προφανώς αξίζει να δοκιμάσει και ο αναγνώστης τις δυνάμεις του πριν προχωρήσει παρακάτω.

Απάντηση

Αρχίστε να μετράτε τους χτύπους της καρδιάς απ’ τη στιγμή που ένας απ’ αυτούς συμπίπτει ακριβώς με χτύπο του ρολογιού. Μετράτε «Κ» χτύπους καρδιάς, μέχρι να συμπέσουν και πάλι χτύπος καρδιάς με χτύπο ρολογιού. Αν, ως συνήθως, ο καρδιακός σας ρυθμός είναι μεγαλύτερος ή και ίσος του 60 χτύποι ανά λεπτό, τότε προκύπτει ότι θα είναι:

60Κ / (Κ – 1)     [Για παράδειγμα, με Κ = 10 προκύπτουν 67 χτύποι ανά λεπτόν]

Αλλως, για ρυθμό μικρότερο του 60 χτύποι ανά λεπτό θα είναι:

60(Κ – 1) / Κ   [Για παράδειγμα, με Κ = 10 προκύπτουν 54 χτύποι ανά λεπτόν]

Απόδειξη

Εστω «t» (σε δευτερόλεπτα) η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς χτύπους της καρδιάς (θεωρώντας ότι όλοι οι χτύποι αυτοί είναι εντελώς ισόχρονοι), ενώ βέβαια οι διαδοχικοί χτύποι του ρολογιού απέχουν 1 δευτερόλεπτο. Ετσι, ο πρώτος μετά την έναρξη χτύπος της καρδιάς θα προτρέχει του πρώτου χτύπου του ρολογιού κατά (1 – t). Ο επόμενος χτύπος της καρδιάς θα προτρέχει κατά: 2 – 2t = 2(1 – t), ενώ ο χτύπος «Κ – 1» θα προτρέχει κατά (Κ – 1)(1 – t) του επόμενου χτύπου του ρολογιού, που όμως τώρα θα συμπίπτει και με χτύπο καρδιάς. Δηλαδή θεωρούμε πως ο Κ είναι ο πρώτος χτύπος που θα συμπέσει ακριβώς με την αρχή κάποιου δευτερολέπτου. Επειδή δε το διάστημα μεταξύ του χτύπου (Κ-1) και του χτύπου Κ είναι ίσο με t, προκύπτει:

(Κ – 1)(1 – t) = t και λύνοντας ως προς t έχουμε: t = (Κ – 1) / K

Αρα ο καρδιακός ρυθμός θα είναι (60 / t) = 60K / (K – 1) χτύποι ανά λεπτόν.

Αν ο ρυθμός σας είναι μικρότερος του 60, τότε ο πρώτος μετά την έναρξη χτύπος της καρδιάς σας θα καθυστερεί στην αρχή κατά (t – 1), και στο τέλος κατά (Κ – 1)(t – 1), διάστημα όμως το οποίον εξ ορισμού τώρα θα είναι ίσο με 1 δευτερόλεπτο.

Αρα τώρα (Κ – 1)(t – 1) = 1, δηλαδή t =  K / (K – 1) και ο ρυθμός θα είναι 60(Κ – 1) / Κ χτύποι ανά λεπτόν.

Πνευματική Γυμναστική

Ετσι για αλλαγή, στην 100ή μας επέτειο, ζητούμε τις απαντήσεις στα παρακάτω χωρίς να χρησιμοποιηθεί μολύβι, χαρτί και φυσικά ούτε υπολογιστής.

α) Ο Α κοιτάζει τη Β και η Β κοιτάζει τον Γ. Ο Α είναι παντρεμένος αλλά ο Γ όχι. Υπάρχει στην παρέα κάποιο μέλος που είναι παντρεμένο και κοιτάζει προς κάποιο που δεν είναι;

β) Ενας έμπορος καυσοξύλων κόβει κάποια μεγαλύτερα ξύλα σε μικρότερα για προσάναμμα. Το κάθε μεγάλο το κόβει σε 11 μικρότερα (το καθένα προκύπτει με ένα χτύπημα) και σε ρυθμό 45 χτυπήματα το λεπτό. Πόσα μεγάλα ξύλα μπορεί να κόψει σε 22 λεπτά;

γ) Ενα τρένο για να πάει από τον έναν σταθμό στον άλλον τρέχει με 20 χιλιόμετρα την ώρα και επιστρέφει με 30 χιλιόμετρα την ώρα. Ποια είναι μέση ταχύτητα αυτού του τρένου;

δ) Ενας οδηγός που πηγαίνει από την πόλη Κ στην πόλη Λ παραλαμβάνει φίλο του από το μέσον της διαδρομής, πηγαίνουν στη Λ, επιστρέφουν και αφήνει τον φίλο του ακριβώς στο ίδιο σημείο. Του λέει πως για όλο το ταξίδι υπολογίζει να χρειαστεί 60 ευρώ για βενζίνη. Πόσο πρέπει να πληρώσει ο φίλος του;

ε) Δύο τρένα κινούνται με σταθερή ταχύτητα 30 χιλιομέτρων την ώρα στην ίδια γραμμή και με αντίθετη φορά, δυστυχώς. Τη στιγμή που απέχουν 60 χιλιόμετρα μια μύγα αρχίζει να πετάει και να πηγαινοέρχεται από το ένα στο άλλο συνεχώς με ταχύτητα 20 χιλιόμετρα την ώρα. Τη στιγμή της σύγκρουσης των δύο τρένων πόσα χιλιόμετρα έχει διανύσει;

Ακολουθήστε στο Google News και μάθετε πρώτοι όλες τις ειδήσεις
Δείτε όλες τις τελευταίες Ειδήσεις από την Ελλάδα και τον Κόσμο, από
Δείτε επίσης
Science
ΒΗΜΑτοδότης
Σίβυλλα
  • Στο Πόρτο – Beverly – Χέλι… Ο κολεξιονέρ Γκαλάτσι-Γκαλάτσι λέει ότι αυτό εδώ θα είναι το καλοκαίρι των ολόχρυσων, άκρως εντυπωσιακών πλωτών βασιλείων, των ελικοπτέρων... ΣΙΒΥΛΛΑ |
Helios Kiosk