Ένα μικρό «ζέσταμα» θα κάνουμε σήμερα ως προετοιμασία για κάποια κείμενα σχετικά με την έννοια του απείρου που θα ακολουθήσουν. Μια έννοια που δίδεται στους μαθητές και στις μαθήτριες ως ένα απλό… χαπάκι. Που (κατα)πίνεται όπως εκφέρεται, χωρίς σχόλια και αντιρρήσεις. Π.χ. από την εισαγωγή της έννοιας του ορίου και στην Μέση Εκπαίδευση έχουμε εκείνο το στερεοτυπικό: «το όριο για χ να τείνει στο άπειρο… κλπ».

Ας δούμε λοιπόν μια άσκηση που σε άλλη χώρα δόθηκε σε παιδιά 17χρονα.

«Αν 0,999… σημαίνει άπειρα 9 μετά την υποδιαστολή τί είναι μεγαλύτερο: α) 0,999… , β) 3×0,333…, γ) 1 , δ) Είναι όλα ίσα;»

Κατ’ αρχάς τα α) και β) είναι ισοδύναμα. Αρκεί επομένως να εξετάσουμε τα α) και γ).

Έστω Χ= 0,999… Πολλαπλασιάζουμε επί 10 και τα δυο μέλη: 10Χ= 9,999… Άρα 10Χ- Χ = 9,999… – 0,999… οπότε 9Χ = 9 και Χ = 1.

Άρα η σωστή απάντηση θα είναι το δ). Αλλά προφανώς πρόκειται για μια απάντηση που προκύπτει διαδικαστικά αλλά κατά πόσο μπορεί να είναι και βαθιά εκλογικευμένη από τα παιδιά;

Επιστροφή στις √ρίζες

*Παλαιότερα προβλήματα από το έντυπο ΒΗΜΑ, που ζήτησαν οι Αναγνώστες.

Αυτό που βασανίζει πάντα με το πρόβλημα της μέσης ταχύτητας στο πήγαινε και στο έλα ενός κινητού (αεροπλάνο, πλοίο, αυτοκίνητο) με το αεροπλάνο, είναι να πρέπει (για μεγαλύτερη δυσκολία), να λαμβάνουμε υπόψη τον παράγοντα(όχι τον «στρατηγό») άνεμο.

Έχουμε λοιπόν ένα αεροπλάνο που πετάει από το Α στο Β και επιστρέφει(χωρίς να λάβουμε υπόψη χρόνο για προσγείωση-απογείωση) με άνεμο που πνέει με την ίδια ένταση και την ίδια διεύθυνση, Α—>Β. Ερώτηση: Ο χρόνος πτήσης με την ύπαρξη του ανέμου θα είναι ο ίδιος με τον χρόνο πτήσης αν είχαμε τέλεια άπνοια;

Συμβολίζουμε την ταχύτητα του ανέμου με ΑΝ και την ταχύτητα του αεροσκάφους με ΑΣ. Με ΑΝ < ΑΣ. Με την απόσταση μεταξύ Α και Β να είναι ΑΠ και τους χρόνους από Α έως Β όταν υπάρχει άνεμος Τ1 και για την επιστροφή Τ2. Χωρίς άνεμο ο συνολικός χρόνος Τ θα δίδεται από την σχέση: 2(ΑΠ)= (ΑΣ)x(Τ) (1).

Όταν πνέει άνεμος πηγαίνοντας θα ισχύει η σχέση: (ΑΠ)= (ΑΣ+ΑΝ)Τ1 (2)

και στην επιστροφή: (ΑΠ)=(ΑΣ-ΑΝ)Τ2 (3)

Θα λύσουμε ως προς Τ1 και Τ2 , θα αθροίσουμε (Τ1+Τ2), θα αντικαταστήσουμε εκεί την απόσταση ΑΠ με την βοήθεια της (1) και θα καταλήξουμε στην εξής σχέση:

Τ1 + Τ2 = Τx [1/ (1-(ΑΝ/ΑΣ)2)] .

Επειδή ΑΝ < ΑΣ ο παρονομαστής θα είναι μικρότερος της μονάδας το κλάσμα θα είναι μεγαλύτερο της μονάδας άρα (Τ1 + Τ2) > Τ. Άρα με τον άνεμο να πνέει όπως υποθέσαμε το ταξίδι έχει μεγαλύτερη διάρκεια από ό,τι με άπνοια!

Ωχ, και άλλα προβλήματα;!

1. Για τους μικρότερους φίλους της σελίδας έχουμε τα εξής: α) Πόσα ψηφία μπορεί να έχει το γινόμενο: 2101 x 599 ; β) Το άθροισμα χ διαδοχικών θετικών ακεραίων αριθμών είναι 529 ενώ ο μέσος όρος τους είναι και αυτός ίσος με χ.

Να υπολογιστεί ο χ και να βρεθούν οι αριθμοί.

2. Τρεις αθλητές (και μόνο τρεις αθλητές) συμμετέχουν σε μια σειρά αθλημάτων στίβου (τον ακριβή αριθμό πρέπει να βρούμε εμείς) από τα οποία γνωρίζουμε πως σίγουρα μεταξύ αυτών είναι το ακόντιο και τα 100 μέτρα ταχύτητας. Οι βαθμοί σε κάθε αγώνισμα δίνονται για την 1η, 2η και 3η θέση, δηλαδή ο 1ος πάντα παίρνει «x» βαθμούς, ο 2ος παίρνει πάντα «y», ο 3ος παίρνει πάντα «z» , με x > y > z > 0, και όλες οι τιμές να είναι ακέραιοι. Οι αθλητές ονομάζονται Άνταμ, Μπομπ και Τσάρλι.

• Ο Άνταμ τερμάτισε πρώτος στο σύνολο με 22 βαθμούς. • Ο Μπομπ κέρδισε στο ακόντιο και τερμάτισε με 9 βαθμούς συνολικά. • Ο Τσάρλι τερμάτισε επίσης με 9 βαθμούς συνολικά. Ερώτηση: Ποιος τερμάτισε δεύτερος στα 100 μέτρα (και γιατί);

Ευτυχώς, εδώ είναι και οι λύσεις

1. Απάντηση

α) 2101 x 599 = 2x 2100 x (10/2)99 = 2x[2100/299]x 1099 = 2x2x1099 = 4×1099. Άρα θα έχει 100 ψηφία. β) Λόγω του ότι το χ είναι και ο μέσος όρος αλλά και ο αριθμός των ακεραίων που ζητούμε θα ισχύει η σχέση: (529/χ) = χ. Δηλαδή θα ισχύει ότι 529 = χ2 . Και από αυτό βρίσκουμε ότι χ=23. Το άθροισμα των χ διαδοχικών αριθμών ν, (ν+1), (ν+2),…, (ν+χ) αρχίζοντας από τον ν θα είναι: ν+ (ν+1)+(ν+2)+… +(ν+χ) . Το άθροισμά τους Σ δίδεται από τον γνωστό τύπο: Σ= (πλήθος όρων)x(πρώτος + τελευταίος)/2. Εδώ επομένως θα είναι: Σ= χ[(ν+1)+(ν+χ)]/2 Αλλά μας δίδεται και ότι Σ= 529 = χ2. Οπότε αν τα βάλουμε όλα μαζί θα προκύψει η σχέση: νχ +χ(χ+1)/2 = χ2. Με χ=23 προκύπτει ότι ν=11 άρα η ακολουθία των διαδοχικών ακεραίων θα είναι 12, 13, …, 34.

2. Απάντηση

Αρχικά, συνειδητοποιήστε ότι οι συνολικοί βαθμοί που απονέμονται είναι 40. Δεδομένου ότι έχουμε να κάνουμε με ακέραιους αριθμούς που σημαίνει ότι: συνολικός αριθμός Γεγονότων (TΓ) επί του συνολικού αριθμού βαθμών που απονέμονται σε μια διοργάνωση (TΒ) πρέπει να ισούται με 40. Μπορούμε να εξαλείψουμε γρήγορα κάποιες πιθανότητες. Για (TΓ)=1 Πόντοι (TΒ)=40 Δεν είναι δυνατό αφού γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο γεγονότα. Όμοια: (TΓ)=2 και (TΒ)=20 Δεν είναι δυνατό αφού ο Άνταμ και ο Μπομπ κέρδισαν από 1 αγώνα. Δεν θα υπήρχε τρόπος για Μπομπ και Τσάρλι να τελειώνουν με τους ίδιους πόντους.

4, 10: Μια πιθανότητα.

5, 8: Μια πιθανότητα.

8, 5: Δεν είναι δυνατό, αφού 1η > 2η > 3η > 0 σημαίνει πως ο ελάχιστος αριθμός πόντων που απονεμήθηκε ΠΡΕΠΕΙ να είναι 6 (3, 2, 1).

10, 4: Ίδιος λόγος.

20, 2: Ίδιος λόγος.

40, 1: Ίδιος λόγος.

Έτσι, τώρα γνωρίζουμε ότι ήταν είτε 4 αγωνίσματα συνολικά με 10 βαθμούς σε ένα αγώνισμα είτε 5αγωνίσματα με 8 βαθμούς που απονέμονται.
Ας δούμε πρώτα την κατάσταση 4, 10. Οι πιθανοί βαθμοί για κάθε θέση με 10 συνολικά διαθέσιμους πόντους είναι (όλοι οι άλλοι συνδυασμοί είναι αδύνατοι λόγω του 1ου > 2ου > 3ου > 0 ):

• 5, 3, 2. Δεν είναι δυνατό καθώς δεν υπάρχει τρόπος να φτάσετε στους 22 πόντους σε 4 αγώνες (μεγαλύτεροι δυνατοί πόντοι θα ήταν 20).

• 5, 4, 1. Ίδιος λόγος.

• 6, 3, 1. Δεν είναι δυνατό, καθώς κανένας συνδυασμός 4 αριθμών δεν μπορεί να φτάσει τους 22 βαθμούς (3 × 6 + 3 = 21, 4 × 6 = 24).

• 7, 2, 1. Μια πιθανότητα — ας δούμε λοιπόν. Μπορούμε να κάνουμε τον Άνταμ στα 22; Ναί. Ο Άνταμ μπορεί να τερματίσει 1ος 3 φορές και 3ος μία φορά (στο ακόντιο). 3 × 7 + 1 = 22. Μπορούμε να φτάσουμε τον Μπομπ στο 9; Οχι. Ο Μπομπ κέρδισε το ακόντιο (7 βαθμοί). Δεν υπάρχει τρόπος να φτάσετε στο 9 με τους υπολειπόμενους συνδυασμούς συμβάντων/σημείων. Πρέπει να έγιναν 5 αγώνες με συνολικά οκτώ βαθμούς (πλησιάζουμε). Ας δούμε τους δυνατούς συνδυασμούς:

(και πάλι, οι άλλοι συνδυασμοί δεν είναι δυνατοί λόγω του περιορισμού 1ο > 2ο > 3ο > 0):

• 4, 3, 1: Δεν είναι δυνατό καθώς δεν υπάρχει τρόπος να φτάσετε στους 22 βαθμούς (4 × 5 = 20 είναι το μέγιστο)

• 5, 2, 1: Φαίνεται ότι αυτός είναι ο νικητής. Ας ελέγξουμε. Μπορούμε να κάνουμε τον Άνταμ στα 22; Ναί. Ο Άνταμ μπορεί να τερματίσει 1ος 4 φορές και 2ος μία φορά (4 × 5 + 2). Αφού είναι γνωστό πως ο Μπομπ τερμάτισε 1ος στο ακόντιο, ο Άνταμ πρέπει να τερμάτισε 2ος. Μπορούμε να φτάσουμε τον Μπομπ στο 9; Ναί. Ο Μπομπ τερμάτισε 1ος στο ακόντιο (5 πόντοι) και τερμάτισε 3ος 4 φορές (4 ×1) για συνολικά 9 βαθμούς. Μπορούμε να κάνουμε τον Τσάρλι στα 9; Ναί. Ο Τσάρλι τερμάτισε 3ος στο ακόντιο(1 βαθμός) και πρέπει να τερμάτισε 2ος στα 4 άλλα αγωνίσματα (4 × 2) με συνολικά 9 βαθμούς. Εφόσον ο Τσάρλι τερμάτισε 2ος σε κάθε αγώνα εκτός από αυτόν στο ακόντιο, πρέπει να έχει τερματίσει 2ος στα 100 μέτρα.

Αν λοιπόν υπολογίσουμε για την πεντάδα των αγωνισμάτων (Ακόντιο, Αγώνισμα 2, Αγ. 3, Αγ. 4, 100 μέτρα) τους βαθμούς του καθενός θα είναι:
Άνταμ: (2,5,5,5,5)Σύνολο 22, Μπομπ: (5,1,1,1,1) Σύνολο 9 και Τσάρλι: (1,2,2,2,2) Σύνολο 9. Άρα ο Τσάρλι.

Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr