Με την επιστροφή της νεράιδας που επιμελείται την εμφάνιση των κειμένων και την εικονογράφηση, επικοινωνούμε ξανά, ας ελπίσουμε για άλλον έναν χρόνο. Και με όρεξη για να πιάσουμε πολλά θέματα. Κυρίως θέματα της εκπαίδευσης σχετικά με τα Μαθηματικά στο ελληνικό σχολείο, που πνίγουν μαθητές, γονείς και διδάσκοντες. Διότι υπάρχουν δυστυχώς…

Πρώτα όμως θα δούμε πολύ αναλυτικά τις λύσεις κάποιων από τα 8 προβλήματα (ναι, και τις υπόλοιπες λύσεις την επόμενη εβδομάδα, εννοείται) που βασάνισαν αρκετούς αναγνώστες αν και κάποιοι έστειλαν μέσα στο καλοκαίρι λύσεις για αρκετά από αυτά!

Και μπράβο τους.

Ανεβαίνουν – Κατεβαίνουν

Αυτό το πρόβλημα έγινε διάσημο στην Αγγλία διότι δόθηκε σε παιδιά της Β’ Δημοτικού το 2016 και μια αγανακτισμένη μητέρα το δημοσιοποίησε: Ένα λεωφορείο ξεκίνησε από την αφετηρία με κάποιους επιβάτες. Στην πρώτη στάση κατέβηκαν 19 και ανέβηκαν 17 άτομα. Οπότε ήταν μέσα 63. Με πόσους επιβάτες ξεκίνησε το λεωφορείο;

Απάντηση

Προφανώς δεν χρειάζεται να καταφύγουμε σε πρωτοβάθμια εξίσωση (που και αυτό γίνεται) για να σπάσουμε ένα όχι και τόσο σκληρό «καρύδι». Αν αυτό το πρόβλημα διδόταν στα πλαίσια ενός διαγωνίσματος θα λέγαμε ότι ίσως δεν θα ήταν και η καλύτερη επιλογή. Αν όμως πρόκειται να γίνει η αφορμή για να μάθει ένα παιδί της Δευτέρας τάξης ότι πίσω από μια επιτηδευμένα στριφνή διατύπωση μπορεί να κρύβεται κάτι πολύ απλό με μια προσεκτική εξήγηση είναι ένα πολύ χρήσιμο παράδειγμα. Έχουμε 19-17 = 2 άτομα που με αυτά ελαττώθηκε ο αριθμός των επιβατών. Φεύγοντας από την στάση είχε μέσα 63 επιβάτες και επειδή στην στάση «έχασε» 2 άτομα στο ανεβοκατέβασμα αρχικά επέβαιναν 2+63 = 65 άτομα.

Μυστήρια γενέθλια

Οι δυο φίλες Α και Β ρώτησαν την φίλη και συμμαθήτριά τους Γ πότε είναι τα γενέθλιά της. Και εκείνηγια να τις παιδέψει τους είπε:

Σας δίνω 10 πιθανές ημερομηνίες:

15 Μαΐου, 16 Μαΐου, 19 Μαΐου

17 Ιουνίου, 18 Ιουνίου

14 Ιουλίου, 16 Ιουλίου

14 Αυγούστου, 15 Αυγούστου, 17 Αυγούστου

Στην συνέχεια αποκάλυψε στην Α μόνον τον μήνα που γεννήθηκε και στην Β μόνον την ημέρα. Εκείνη την στιγμή καμία δεν πετάχτηκε να πει ότι γνωρίζει ημέρα και μήνα.

Αμέσως μετά όμως ακολούθησε ο επόμενος διάλογος:

Α: Δεν γνωρίζω πότε είναι τα γενέθλια της Γ αλλά γνωρίζω πως και η Β δεν ξέρει πότε είναι.

Β: Στην αρχή δεν ήξερα αλλά τώρα γνωρίζω

Α: Τώρα το ξέρω και εγώ πότε είναι.

Ποια είναι η σωστή ημερομηνία;

Απάντηση

Από τα δεδομένα γνωρίζουμε πως η Α γνώριζε πως οι μήνες ήταν: Ιούνιος, Ιούλιος, Αύγουστος. Η Β γνώριζε πως οι ημερομηνίες ήταν 14, 15, 16, 17, 18, 19.

Η Α σωστά λέει όχι μόνον πως εκείνη δεν γνωρίζει την δεδομένη στιγμή την ακριβή ημερομηνία αλλά και ότι και η Β δεν είναι σε θέση να ξέρει κάτι περισσότερο από την Α (αλλιώς θα είχε μιλήσει ήδη). Διότι για να γνωρίζει η Β και τον μήνα θα έπρεπε να της έχει πει η Γ πως η ημερομηνία ήταν 18 ή 19 διότι αυτές εμφανίζονται μόνον σε έναν μήνα (Ιούνιο και Μάϊο αντίστοιχα).Αυτοί οι δυο μήνες φεύγουν από το κάδρο.

Αμέσως μετά η Β καταλαβαίνει πως ο μήνας δεν μπορούσε να είναι άλλος από Ιούλιο ή Αύγουστο. Το 14 εμφανίζεται και σε Ιούλιο και σε Αύγουστο άρα αν της είχε πει αυτό δεν θα μπορούσε να βγάλει συμπέρασμα. Της μένουν άρα μόνον 16 Ιουλίου και 15 ή 17 Αυγούστου. Άρα όποια ημέρα να της είπε η Γ τώρα μπορεί να ξέρει και τον μήνα.

Επίσης και η Α δηλώνει πως γνωρίζει πλέον μήνα και ημέρα διότι του έχει μείνει μια ημερομηνία τον Ιούλιο και δυο τον Αύγουστο οπότε αυτές οι δυο τελευταίες δεν θα μπορούσε να είναι αφού δεν θα έβγαινε συμπέρασμα για ποια από τις δυο πρόκειται. Άρα της είχε «ψιθυρίσει» η Γ πως ο μήνας ήταν ο Ιούλιος.

Τελικά λοιπόν η ημερομηνία ήταν 16 Ιουλίου.

Τρία κιβώτια

Έχουμε τρία κιβώτια γεμάτα που όταν ζυγίστηκαν ανά δυο μαζί η ζυγαριά έδειξε 98, 101 και 102 κιλά. Πόση είναι η διαφορά στο βάρος μεταξύ του βαρύτερου και του ελαφρύτερου;

Απάντηση

Ας συμβολίσουμε τα βάρη των τριών Β1, Β2, Β3 και υποθέτουμε να ισχύει ότι Β1>Β2>Β3. Με μια ματιά καταλαβαίνουμε ότι Β1+Β2 = 102 και Β2+Β3 = 98. Αφαιρώντας κατά μέλη θα έχουμε Β1-Β3 = 102 – 98 = 4 κιλά.

Η πιο γρήγορη άσκηση

Να ευρεθεί η f(x) αν η f(x+1) = x2-5x+3

Απάντηση

Επειδή η f(x) μπορεί να θεωρηθεί και ως f((x-1)+1) η δοθείσα f(x+1) = x^2-5x+3 αν όπου x βάλουμε (x-1) γίνεται [(x-1)2 ] -5(x-1) +3 = x2 -2x + 1 -5x +5 + 3 = x2 – 7x + 9. Άρα f(x) = x2 – 7x + 9.

Είναι πολλά τα ψηφία… Άρη

Πόσα ψηφία θα προκύψουν αν υψώσουμε τον αριθμό 1001 στην 11η δύναμη; (100111).

Απάντηση

Δυο δοκιμές δίνουν την κατεύθυνση. Δηλαδή με (1001)2 = 1 002 001 άρα 2 επί 3 = 6 ψηφία συν το 1 και (1001)3 = 1 003 003 001 3 επί 3 = 9 ψηφία συν το 1 καταλαβαίνουμε πως από το (1001)11 θα προκύπτουν 3 επί 11 = 33 ψηφία συν το 1 άρα 34 ψηφία τελικά.

*Τα υπόλοιπα, πιο ενδιαφέροντα και μάλλον δυσκολότερα, έρχονται στο επόμενο με πλήρεις λύσεις.

Για τους μαθητές που δούλεψαν και το καλοκαίρι…

Δηλαδή για όποιους τα έλυσαν ήδη όλα μέσα στο καλοκαίρι. έπρεπε να έχουμε κάτι και για εκείνους. Τρία προβλήματα σε επίπεδο γνώσεων το πολύ Γυμνασίου λοιπόν, εκ των οποίων τα δυο αρκετά ενδιαφέροντα:

1. Χωρίς μολύβι και χαρτί: Πόσες ακέραιες τιμές του x εκπληρούν τις ανισότητες: (1/2)<(3x/100)<(4/5);

2. Το άθροισμα των 100 πρώτων ακεραίων αριθμών (2+3+5+7+11+13+…) που είναι και «πρώτοι» (δηλαδή δεν έχουν άλλον ακέραιο διαιρέτη εκτός από τον εαυτό τους) θα είναι άρτιος ή περιττός αριθμός;

3. Ποιο είναι το μεγαλύτερο υπόλοιπο που μπορεί να προκύψει όταν ένας διψήφιος αριθμός διαιρεθεί με το άθροισμα των ψηφίων του;

Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr.