Τα «χρυσά» κλειδιά

Η σειρά του ΒΗΜΑ-Science για όσους θέλουν να φτιάξουν ξανά τη… σχέση τους με τα Μαθηματικά, σήμερα ασχολείται με τη συμβολή της modulo αριθμητικής στη δυνατότηταασφαλούς αποστολής μηνυμάτων

Κάποια στιγμή, στη δεκαετία του 1970, υπήρξαν μαθηματικοί με εμμονή για κάτι που έμοιαζε ακατόρθωτο. Να μπορεί όποιος ήθελε χρησιμοποιώντας έναν δικό του τρόπο κρυπτογράφησης (τον αποκαλούμε «ιδιωτικό κλειδί») να στέλνει κρυπτογραφημένο μήνυμα και ο παραλήπτης με ένα άλλο κλειδί να διαβάζει το μήνυμα αλλά μεταξύ τους οι δύο να μην έχουν ανταλλάξει κλειδιά, διότι θα υπήρχε φόβος να πέσουν στα χέρια τρίτων ανεπιθύμητων (ας ανατρέξουν οι αναγνώστες και στο κουίζ που δώσαμε πριν από τρεις εβδομάδες σχετικά με ένα δαχτυλίδι που μεταφέρεται με ασφαλή τρόπο σε κουτί με λουκέτο).

Μια τέτοια κρυπτογράφηση έγινε κατορθωτή και μάλιστα όχι μόνον με έναν τρόπο. Θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε έναν από τους πιο προχωρημένους, τον λεγόμενο RSA (από τα αρχικά αυτών που τον επινόησαν, Rivest, Shamir και Adleman).

Εχουμε την Αλίκη στο ένα άκρο και τον Γιάννη στο άλλο. Αυτό που αποκαλούμε «δημόσιο κλειδί» (public key) της Αλίκης, είναι κάτι σαν ένα ανοικτό λουκέτο, που το κλειδί του έχει μόνον η Αλίκη. Το κλειδί του λουκέτου είναι το «ιδιωτικό (της) κλειδί»(private key). Η Αλίκη μοιράζει αυτά τα λουκέτα (public keys) σε οποιονδήποτε θέλει ένα, για να επικοινωνούν μαζί της (ή αλλιώς βρίσκονται αναρτημένα κάπου με πρόσβαση από όλους). Οταν ο Γιάννης θέλει να της στείλει ένα μήνυμα το βάζει στο κουτί και το κλείνει με ένα από αυτά τα δημόσια λουκέτα της Αλίκης, και το στέλνει σε εκείνη. Το κλειδί για το άνοιγμα το διαθέτει μόνον η Αλίκη.

Πώς δουλεύει

Η Αλίκη επιλέγει δύο διαφορετικούς πρώτους αριθμούς P και Q με πάνω από εκατό ψηφία (συνήθως διακόσια, διότι όσο περισσότερα ψηφία τόσο καλύτερα). Πολλαπλασιάζει τους δύο αυτούς αριθμούς N = P x Q. Επίσης υπολογίζει τον Z = (P – 1) x (Q – 1). Στη συνέχεια χρειάζεται έναν άλλο αριθμό, τον E με (1< E< Z) αλλά προσέχει ώστε οι δύο αυτοί, Ε και Ζ, να μην έχουν κοινούς διαιρέτες. Ο Ε είναι ο λεγόμενος «εκθέτης κρυπτογράφησης».

Μετά από αυτό πρέπει να υπολογίσει έναν ακόμη αριθμό, τον D. Θα τον διαλέξει έτσι ώστε γι’ αυτόν να ισχύει ότι (E x D) (mod Z) = 1 (δηλαδή οι E και D θα είναι όπως λέμε αντίστροφοι μεταξύ τους ως προς modulo Z (και υπάρχει ένας μηχανιστικός τρόπος με τον λεγόμενο αλγόριθμο του Ευκλείδη, να βρίσκεις τον αντίστροφο). Ο D είναι ο λεγόμενος «εκθέτης αποκρυπτογράφησης».

Τους αριθμούς Ε και Ν τους δίνει στη δημοσιότητα, είναι τα δημόσια κλειδιά της, ενώ ο D είναι το ιδιωτικό της κλειδί. Οταν ο Γιάννης θέλει να της στείλει μήνυμα το αριθμητικοποιεί, π.χ. με ASCII κώδικα, παίρνοντας τελικά έναν αριθμό Μ. Υπολογίζει τον αριθμό C = ME (mod N) και στέλνει τον C στην Αλίκη. Οταν η Αλίκη λαμβάνει τον C υπολογίζει τον CD (mod N) = MED (mod N). Από εκεί προκύπτει ο Μ και αποκωδικοποιείται το μήνυμα του Γιάννη.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι κάποιος ενδιάμεσος πρέπει να μπορεί να βρει από ποιους πρώτους αριθμούς αποτελείται ο Ν. Αυτό όμως προς το παρόν απαιτεί τεράστια υπολογιστική δύναμη και χρόνο, που ακόμη και ολόκληρα κράτη δεν διαθέτουν ακόμη. Από εκεί και πέρα, όλο το κόλπο είναι στο ότι MED(mod N) = M. Γι’ αυτό όμως υπάρχει ένα θεώρημα, με την ονομασία «Μικρό Θεώρημα του Φερμά», που αναφέρει ότι για κάθε πρώτο αριθμό p και οποιονδήποτε α < p ισχύει ότι αp (mod p) = α.

Το μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι το ότι έχει αργή διαδικασία. Σήμερα οι διάφορες εταιρείες αποστολής αγαθών μέσω του Διαδικτύου τη χρησιμοποιούν για να μεταβιβάσουν με ύψιστη ασφάλεια στον καταναλωτή μόνον ένα κλειδί, που χρησιμοποιείται μετά με άλλη μέθοδο (συνήθως τη λεγόμενη DES), αρκετά πιο γρήγορη.

Ξεκινήσαμε από το κλασικό ρολόι στον τοίχο ενός θαλάμου νοσοκομείου και καταλήξαμε στην κρυπτογράφηση, με μια από τις πλέον διαδεδομένες μεθόδους χωρίς απαιτήσεις για γνώσεις σε πανεπιστημιακό επίπεδο.

Θελήσαμε να δείξουμε πως τα Μαθηματικά δεν είναι πάντα μια ενασχόληση αποκομμένη από την καθημερινή ζωή και όποιος επιμένει γεύεται αρκετές χαρές, που μπορεί να φαίνονται ασήμαντες για άλλους.

Στις επόμενες καλοκαιρινές εβδομάδες η σελίδα δεν σκοπεύει να κάνει διακοπές αλλά θα περιέχει μόνον κουίζ. Κάποια μεγαλύτερης έκτασης, που δεν μπορούσαν να συνυπάρχουν με την ύλη της θεωρίας και είναι ό,τι πρέπει για κατανάλωση ακόμη και δίπλα στο… κύμα.

Ακολουθήστε στο Google News και μάθετε πρώτοι όλες τις ειδήσεις
Δείτε όλες τις τελευταίες Ειδήσεις από την Ελλάδα και τον Κόσμο, από
Science
ΒΗΜΑτοδότης
Σίβυλλα
  • Parties, μόνο parties Η νεαρή, ωραιότατη Κάια Γκέρμπερ, η 18χρονη super model κόρη της Σίντι Κρόφορντ, η οποία λατρεύει την ελληνική μουσική... ΣΙΒΥΛΛΑ |
Helios Kiosk