Πνευματική Γυμναστική

1Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση την τιμή του 2⁶⁴;

2Σε μια μακρινή αγορά της Αφρικής μπορείς να αγοράσεις έναν ελέφαντα δίνοντας 99 χήνες. Αν την επόμενη εβδομάδα η τιμή του ελέφαντα έχει πέσει κατά 10% και η τιμή κάθε χήνας έχει ανέβει κατά 10%, με πόσες χήνες αγοράζεις πλέον έναν ελέφαντα;

1. Τι αφήνει λιγότερο κενό χώρο; Ενα δοκάρι με τετράγωνη διατομή σε μια κυκλική οπή ή ένα δοκάρι με κυκλική διατομή σε αντίστοιχη οπή με τετράγωνη διατομή; Ας πάρουμε πρώτα τον στρογγυλό πάσσαλο μέσα σε τετράγωνη οπή. Για να είναι ένας κύκλος με ακτίνα r εγγεγραμμένος μέσα σε ένα τετράγωνο, το τετράγωνο θα πρέπει να έχει πλευρά 2r. Αρα ο λόγος των δύο εμβαδών που θα δώσει και το ποσοστό κάλυψης είναι: (π x (r)² )/ (2 x r) ² ) και είναι ίσος με 78,54%. Στην αντίθετη περίπτωση όπου ένας τετράγωνος πάσσαλος είναι μέσα σε κυκλική οπή, ο κύκλος είναι περιγεγραμμένος και τότε για την πλευρά α του εγγεγραμμένου τετραγώνου, κάνοντας το σχετικό πυθαγόρειο θεώρημα (α² + α² = (2 r)² ), θα ισχύει ότι: 2 α² = 4r². Από εκεί προκύπτει ότι το εμβαδόν του τετραγώνου θα είναι 2 r² και ο λόγος των εμβαδών: (2 r² )/(π x r² ) = 63,66%. Για όποιον βρήκε εύκολα τη λύση και θέλει να ακονίσει ακόμη περισσότερο το μυαλό του υπάρχει το εξής ερώτημα: Πώς από εδώ μπορούμε να βρούμε χονδρικά μέσα σε ποια όρια κινείται η τιμή του π;

2. Τρεις διευθυντές μεγάλης εταιρείας την ώρα του καφέ συζητούν και θέλουν να μάθουν τον μέσο όρο των μισθών τους χωρίς όμως να αποκαλύψει ο καθένας στους άλλους το ύψος του μισθού του. Πώς μπορούν να το κάνουν αυτό; Φαντάζει σχεδόν αδύνατον, αλλά υπάρχει τρόπος. Ο Α προσθέτει στο πραγματικό ποσό του μισθού του ένα οποιοδήποτε ποσό ακόμη και λέει το άθροισμα στον Β. Ο Β προσθέτει στον αριθμό αυτόν τον δικό του μισθό και ένα ακόμη αυθαίρετο ποσό και λέει το αποτέλεσμα στον Γ. Κάνει και εκείνος ακριβώς το ίδιο και λέει το αποτέλεσμα στον Α. Ο Α αφαιρεί το αυθαίρετο ποσό που είχε προσθέσει στον δικό του μισθό και δίνει το αποτέλεσμα στον Β. Εκείνος κάνει το ίδιο, λέει το αποτέλεσμα στον Γ. Ο τελευταίος αυτός αφαιρεί και το δικό του αυθαίρετο ποσό και το αποτέλεσμα το διαιρεί διά τρία. Αυτός είναι ο μέσος όρος των μισθών τους και κανείς δεν ξέρει ποιος είναι ο μισθός του καθενός.