Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος είναι ο καλύτερος διαφημιστής στο εξωτερικό της ελληνικής δημόσιας εκπαίδευσης. Οχι μόνο διότι λέει τα καλύτερα για το 2ο Λύκειο Κοζάνης όπου υπήρξε μαθητής του και για το Μαθηματικό Τμήμα στο Πανεπιστήμιο της Θεσσαλονίκης όπου φοίτησε. Ούτε επειδή εκτός Ελλάδας πήγε στο Πανεπιστήμιο του Ιλινόις, από εκεί στο Χάρβαρντ και τώρα είναι αναπληρωτής καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ. Αλλά και επειδή είναι από τον Ιούλιο του 2019 διάσημος στον κόσμο των συναδέλφων του μαθηματικών, αφού με μια εργασία 44 σελίδων και την ανακοίνωσή της σε συνέδριο στην Ιταλία απέδειξε ότι ισχύει η λεγόμενη «εικασία των Duffin-Schaeffer» (Ντάφιν-Σέφερ), διατυπωμένη το 1941 αλλά αναπόδεικτη έως αυτήν τη χρονιά.
Η εικασία των Ντάφιν-Σέφερ αναφέρει τα κριτήρια που μπορούμε να θέσουμε ώστε να προσεγγιστούν με κλάσματα ακεραίων αριθμοί με δεκαδικό τμήμα, αρκεί να απαγορεύσουμε κάποιους παρονομαστές.
Ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος λέει ότι στην εικασία των Ντάφιν-Σέφερ υπάρχει μια δυϊκότητα, ένας πολύ οξύς διαχωρισμός που δηλώνει από τη μια ότι έχεις αφήσει ένα μεγάλο περιθώριο ώστε με τους παρονομαστές των κλασμάτων που έχεις να μπορείς να προσεγγίσεις όλους τους αριθμούς. Και από την άλλη, εάν ήσουν υπερβολικά φιλόδοξος, θέλοντας να τους προσεγγίσεις με ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια, με τους περιορισμούς που έβαλες δεν μπορείς να προσεγγίσεις σχεδόν κανέναν αριθμό. Οπως χαρακτηριστικά δήλωσε: «Υπάρχουν αυτοί οι δύο κόσμοι που στον έναν μπορούμε να προσεγγίσουμε σχεδόν όλους τους αριθμούς και στον άλλον σχεδόν κανέναν αριθμό, και ανάμεσά τους ένα απλό κριτήριο αποφασίζει το πότε πέφτουμε στην κάθε περίπτωση».
Υπάρχουν αριθμοί που δεν… λέγονται;
Η πρώτη μεγάλη διάκριση σε σχέση με τους πραγματικούς αριθμούς είναι ο χαρακτηρισμός ως προς το αν πρόκειται για ρητό ή άρρητο. Αν πάρουμε και από την αρχαιότητα ακόμη την έννοια, ρητός είναι αυτός ο αριθμός που «μπορεί να διαβαστεί». Στην ουσία μπορεί να είναι ένας ακέραιος, ένα κλάσμα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή και κάθε άλλος αριθμός που όμως μπορεί να γραφτεί σαν κλάσμα ακέραιων αριθμών, όπως για παράδειγμα ο 0,235 γιατί γράφεται και ως 235/1.000, δηλαδή ως κλάσμα των ακέραιων διακόσια τριάντα πέντε και χίλια. Αντίθετα άρρητος είναι αυτός που «δεν μπορεί να διαβαστεί», με την έννοια ότι δεν μπορεί να γραφτεί σαν ένα κλάσμα ακέραιων. Διότι έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά και αυτό εμποδίζει ακριβώς το να είναι ρητός, άρα να γράφεται ισοδύναμα και σαν ένα κλάσμα ακέραιων αριθμών. Διάσημοι άρρητοι αριθμοί είναι ο π, η τετραγωνική ρίζα του 2, το e=2.7182818… ή το φ=1.6180339… της χρυσής τομής.
Ο Τζέιμς Μέιναρντ στην Οξφόρδη παιδευόταν για καιρό με την εικασία των Αμερικανών Ντάφιν και Σέφερ, για να ζητήσει τελικά τη βοήθεια του Δημήτρη Κουκουλόπουλου, επειδή ο έλληνας συνάδελφός του, έχοντας ως πεδίο εξειδίκευσης την Αναλυτική Θεωρία των αριθμών, θα μπορούσε να βοηθήσει αποφασιστικά στο να προχωρήσουν μέσα από πιο απάτητους έως τότε δρόμους οι δυο τους στη λύση αυτού του προβλήματος που έμενε άλυτο επί δεκαετίες.
Πλησιάζοντας στον στόχο
Ηταν γνωστό από το 1837 ότι για κάθε άρρητο αριθμό υπάρχουν άπειρα κλάσματα που πλησιάζουν την τιμή του και το σφάλμα, δηλαδή η διαφορά από αυτή, δεν είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό που παίρνεις αν διαιρέσεις το 1 με το τετράγωνο του παρονομαστή. Ετσι η προσέγγιση της τιμής του π, που είναι στην πραγματικότητα περίπου π = 3,14159265358… μπορεί να γίνει με τα κλάσματα 22/7, 355/113, 104.348/33.215 αλλά και με άπειρα άλλα με αυξανόμενη ακρίβεια. Το ίδιο συμβαίνει και με τους άπειρους άλλους άρρητους αριθμούς.
Το πράγμα δυσκολεύει όταν απαιτήσεις οι παρονομαστές να επιλέγονται από ένα συγκεκριμένο υποσύνολο των ακέραιων αριθμών. Παραδείγματος χάριν, μόνο από τους ζυγούς αριθμούς. Και να βάλεις και τον περιορισμό, η ακρίβεια να είναι στο 0,00001 ή και περισσότερο. Τότε θα μπορείς να βρίσκεις άπειρα κλάσματα που να προσεγγίζουν κάθε άρρητο αριθμό;
Η εικασία Ντάφιν-Σέφερ παρουσιάζει μια συνάρτηση όπου δίνεις τα δεδομένα σου και παίρνεις ως απάντηση αν μπορείς ή όχι να προσεγγίσεις κάθε άρρητο αριθμό με τις προϋποθέσεις που έβαλες. Στην πραγματικότητα, ύστερα από μια ορισμένη διαδικασία προκύπτει ένα άθροισμα όρων. Αν αυτό το άθροισμα τείνει στο άπειρο, τότε έχεις βρει αυτό που έψαχνες, δηλαδή ότι μπορείς να προσεγγίσεις με συγκεκριμένα κλάσματα ακέραιων τους πραγματικούς αριθμούς που έβαλες ως στόχο. Αν το άθροισμα τείνει στο μηδέν, η απάντηση είναι όχι. Αυτή την εικασία επιβεβαίωσαν με την εργασία τους οι Κουκουλόπουλος και Μέιναρντ.
Αν κρίνουμε από τις δηλώσεις μαθηματικών που ασχολούνται εντατικά με το θέμα και απάντησαν στις σχετικές ερωτήσεις των ειδικών εντύπων μετά την ανακοίνωση της εργασίας, τα όσα είπαν ήταν στην ίδια ακριβώς γραμμή: Πρόκειται για πολύ καλή εργασία που έλυσε μάλλον οριστικά το συγκεκριμένο πρόβλημα (ακόμη κάποιοι ελέγχουν γραμμή-γραμμή το περιεχόμενο για τυχόν διορθώσεις). Και αυτό έγινε με τρόπο απροσδόκητο, κατά τη γνώμη των ειδικών, χάρη στην τρομερή αυτοπεποίθηση των δύο μαθηματικών για τις μεθόδους που έπρεπε να ακολουθήσουν, καταφεύγοντας και στη χρήση γραφημάτων με τελείες που ενώνονται με ευθείες (γράφοι).
Και αν κρίνουμε από τις δηλώσεις του ιδίου, ο Δημήτρης Κουκουλόπουλος δεν θέλει να ασχολείται με το ποια θα μπορούσε να ήταν η πρακτική αξία των όσων επιβεβαιώνει η εργασία του. Με αυτό θα ασχοληθούν άλλοι, λέει. Διότι ο «καθαρά» ερευνητής και μαθηματικός στο επίπεδο αυτό ασχολείται με τα προβλήματα που… θέλει εκείνος να λύσει και όχι με όποια θα ήθελαν οι άλλοι να λύσει. Και το θέμα είναι πόσο δύσκολα είσαι διατεθειμένος να βάζεις στον εαυτό σου κάθε φορά.
