Πνευματική γυμναστική: Νομίσματα που κυλούν

Στη σειρά του ΒΗΜΑ-Science για όσους θέλουν να φτιάξουν ξανά τη… σχέση τους με τα Μαθηματικά, αυτή την Κυριακή θα μας απασχολήσει η παράξενη συμπεριφορά ενός κύκλου που του έρχεται ξαφνικά να κυλήσει γύρω από έναν άλλον.

Επειδή ποτέ δεν ξεχνάμε τους μικρούς μαθητές και τα βάσανά τους για να μπορέσουν να εξοικειωθούν με την ύλη των Μαθηματικών που πιστεύουμε πως πρέπει να αφομοιώσουμε, θα αναφερθούμε σήμερα στο πρόβλημα που μπήκε σε κάποιες ανάλογες με τις Πανελλαδικές εξετάσεις στην αλλοδαπή και έγινε κυριολεκτικά χαμός.

Τον Μάιο του 1982 στις Ηνωμένες Πολιτείες, μεταξύ άλλων υπήρχε και το εξής ερώτημα: Εχουμε δύο κύκλους με ακτίνες R και r (αν φανταστούμε αντί για κύκλους νομίσματα είναι πιο εύκολο να καταλάβουμε το πρόβλημα) και ο ένας, ο μικρότερος, κυλάει χωρίς να ολισθαίνει στην περιφέρεια (εξωτερικά) του μεγαλύτερου. Αν η ακτίνα του μεγαλύτερου είναι 3 φορές η ακτίνα του μικρότερου, πόσες περιστροφές θα κάνει ο μικρότερος ξεκινώντας από τυχόν σημείο, κυλώντας στην περιφέρεια του μεγαλύτερου, μέχρι να επιστρέψει εκεί που ξεκίνησε;

Οι επιλογές που προσφέρονταν από κάτω στον εξεταζόμενο ήταν: (3/2), 3, 6, (9/2) και 9. Οποιος προσπαθήσει να απαντήσει στο παραπάνω, φθάνοντας στη λύση θα καταλάβει γιατί το πρόβλημα αυτό κάποια στιγμή απασχόλησε ακόμη και τους «New York Times». Και εδώ όποιος θέλει μπορεί να σταματήσει και να ψάξει για την δική του απάντηση πριν διαβάσει παρακάτω.

Μη «προσφερόμενη» απάντηση

Είναι φανερό πως αιτία του χαμού ήταν η απουσία της σωστής απάντησης από τις προσφερόμενες στον εξεταζόμενο επιλογές. Υπήρξαν μάλιστα τρία παιδιά μόνον ανάμεσα σε πολλές χιλιάδες που τόλμησαν να γράψουν πως καμία από τις «προσφερόμενες» δεν είναι  σωστή.

Για τη λύση σκεφτόμαστε πως από το κέντρο του μεγάλου κύκλου μέχρι το κέντρο του μικρού η απόσταση είναι R + r. Αρα το κέντρο του μικρού νομίσματος καθώς κυλάει στο μεγάλο διαγράφει μια διαδρομή ίση με 2π(R + r).

Και επειδή για το μικρό νόμισμα ισχύει ότι η περιφέρειά του έχει μήκος 2πr, πόσες φορές αυτό χωράει στη διαδρομή 2π(R + r);

Θα είναι: [2π(R + r)/ 2πr], άρα (R + r)/ r =  R/r + 1 φορές. Αν λοιπόν η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι 3 φορές μεγαλύτερη, ο μικρός κύκλος θα κάνει 3 + 1 = 4 περιστροφές.

Και για να μην κλείσουμε έτσι απλά το θέμα αξίζει να αναφέρουμε πως:

  • Το παραπάνω βοηθάει στο να καταλάβουμε τη σχετική κίνηση της Γης και τη λεγόμενη αστρική ημέρα.
  • Είναι εξαιρετικό εργαλείο για να κινήσουμε το ενδιαφέρον των μικρών μαθητών.
  • Πρέπει να σκεφθούμε και να εξηγήσουμε πώς προκύπτει αυτός ο +1 έξτρα κύκλος.
  • Τι γίνεται όταν ο λόγος των δύο ακτίνων δεν είναι ακέραιος αλλά π.χ. ένας ρητός του τύπου (11/3);

Πνευματική Γυμναστική

1. Δύο φίλοι που ταξιδεύουν με το αυτοκίνητο, αρχίζουν να μετρούν κάποιες πινακίδες τοποθετημένες στην άκρη του δρόμου, σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Αποφασίζουν να βρουν αυτή τη μεταξύ τους απόσταση. Με το αυτοκίνητο σε σταθερή ταχύτητα και το χρονόμετρο του κινητού ανά χείρας, από τη μέση περίπου του διαστήματος μεταξύ δύο πινακίδων ο συνοδηγός αρχίζει το μέτρημά τους για ένα λεπτό. Οταν πέρασε το λεπτό και ο συνοδηγός λέει πόσες ήταν, ο οδηγός αναφωνεί: «Τι σύμπτωση, αν το πολλαπλασιάσεις επί 10 βγαίνει η ταχύτητα του αυτοκινήτου τώρα». Πόσο απείχαν μεταξύ τους οι πινακίδες;

2. Σε μια σχολή σε κάποιο έτος φοιτούν 100 σπουδαστές. Μια ημέρα της εβδομάδας ήταν στα μαθήματα το 99% των σπουδαστών. Και αυτήν ακριβώς την ημέρα μεταξύ των παρόντων ήταν το 98% των σπουδαστών που είχαν ξανθά μαλλιά. Πόσοι σπουδαστές συνολικά έχουν ξανθά μαλλιά;

Ακολουθήστε στο Google News και μάθετε πρώτοι όλες τις ειδήσεις
Δείτε όλες τις τελευταίες Ειδήσεις από την Ελλάδα και τον Κόσμο, από
Δείτε επίσης
Science
ΒΗΜΑτοδότης
Σίβυλλα
Helios Kiosk