Πνευματική γυμναστική

1Μια εταιρεία κατασκευάζει κουτιά για τσιγάρα. Σε αυτά χωρούν ακριβώς 20 τσιγάρα σε κάθε στρώση, χωρίς να μένουν καθόλου κενά οπουδήποτε. Κάθε κουτί περιέχει 8 στρώσεις με 20 τσιγάρα στην κάθε στρώση και είναι τοποθετημένες ακριβώς η μία επάνω από την άλλη. Αν η διάμετρος του κάθε τσιγάρου είναι 2 μονάδες μήκους, τι μπορεί να κάνει η εταιρεία για να αυξήσει τη χωρητικότητα σε τσιγάρα, χωρίς βέβαια να αλλάξει τις διαστάσεις των κουτιών; Πόσα περισσότερα τσιγάρα μπορούν να χωρέσουν;

2Εχουμε το άθροισμα 2013¹ + 2013² + 2013³ + … + 2013²⁰¹³ και θέλουμε να βρούμε όταν γίνει η άθροιση ποιο θα είναι το τελευταίο ψηφίο δεξιά, αυτό δηλαδή που δείχνει τις μονάδες.

1. Ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι ο 2 δίνει ένα ζευγάρι αριθμών που το γινόμενό τους και το άθροισμά τους είναι το ίδιο (2 x 2 = 4, 2 + 2 = 4) ο Αγγλος Χένρι Ερνεστ Ντάντνι ισχυριζόταν ότι: «Για όποιον αριθμό θέλεις, οσοδήποτε μεγάλο, μπορώ να σου βρω έναν άλλον και οι δυο τους θα έχουν γινόμενο και άθροισμα τον ίδιο αριθμό». Αν Κ είναι ο τυχαίος ακέραιος αριθμός που μας δίδεται και Χ το ταίρι του που ψάχνουμε, τότε θα ισχύει ότι Κ x Χ = Κ + Χ. Λύνοντας ως προς Χ προκύπτει ότι Χ = (Κ/(Κ – 1)). Οπότε Κ + Χ = Κ + (Κ/(Κ – 1)) που δίνει τελικά ότι το άθροισμά τους είναι Κ ² /(Κ – 1). Διαλέγουμε για παράδειγμα τον ακέραιο αριθμό 5. Ο αντίστοιχός του θα είναι ο 25/(5 – 1), δηλαδή ο (25/4). Οι δυο τους έχουν το ίδιο άθροισμα και το ίδιο γινόμενο (25/4).

2. Είχαμε Ν χάντρες σε έναν σάκο. Εξι από αυτές μαύρες και οι υπόλοιπες λευκές. Μια μαθήτρια παίρνει τυχαία μια χάντρα από τον σάκο και δεν τη βάζει ξανά πίσω. Παίρνει και μια δεύτερη. Η πιθανότητα να έχει ανασύρει από τον σάκο 2 λευκές είναι (1/2). Να δειχθεί ότι ισχύει: Ν² – 25Ν + 84 = 0. Στην περίεργη αυτή εκφώνηση που ζητήθηκε να την ξεμπερδέψουν δεκαεξάχρονοι μαθητές στην Αγγλία ξεκινούμε από το ότι (Ν – 6) είναι οι λευκές. Αρα παίρνοντας μια χάντρα την πρώτη φορά, η πιθανότητα να βγει λευκή είναι (Ν – 6)/Ν. Επειδή δεν τη βάζει πίσω, τώρα οι λευκές χάντρες (δεν είναι πια Ν – 6) αλλά όσες ήταν πριν μείον μία ακόμα, δηλαδή (Ν – 6) – 1 = Ν – 7 και όλες μαζί είναι πλέον (Ν – 1), οπότε η πιθανότητα να βγει μία λευκή από το σύνολο είναι (Ν – 7)/(Ν – 1) και ο συνδυασμός των δύο κινήσεων είναι το γινόμενο των δύο πιθανοτήτων, άρα ((Ν – 6)/Ν) x ((Ν – 7)/(Ν – 1)). Αυτή η παράσταση όταν λυθεί ως προς Ν θα δώσει τη Ν² – 25Ν + 84 = 0.