1Ενα γυάλινο μπουκάλι, που είναι κυλινδρικό στο μεγαλύτερο μέρος του αλλά λίγο πριν το στόμιο, εκεί γύρω στα δύο τρίτα του ύψους του, αρχίζει να στενεύει. Είναι σφραγισμένο και στο εσωτερικό του υπάρχει νερό που φθάνει λίγο παραπάνω από το μισό του ύψους του. Αν διαθέτουμε μόνον έναν χάρακα πώς μπορούμε να βρούμε με ακρίβεια τον όγκο του μπουκαλιού αυτού;
2Πόσα ζευγάρια ακεραίων (α, β) υπάρχουν, τέτοια ώστε να συμβαίνει ταυτόχρονα: το άθροισμα α + β, το γινόμενο α x β και το κλάσμα (α/β) να έχουν την ίδια τιμή;
1. Εχουμε τις γωνίες ενός τριγώνου να είναι σε αναλογία 5:6:7 και θέλουμε να βρεθεί η μικρότερη από τις γωνίες του τριγώνου. Αυτή η κάπως άβολη παρουσίαση της σχέσης των γωνιών μεταξύ τους μπορεί να απλωθεί κάπως πιο κατανοητά αν ξεκινήσουμε από το να αθροίσουμε τους αριθμούς 5 + 6 + 7 = 18 και να φανταστούμε πως έχουμε μια «πίτα» με 18 συνολικά κομμάτια. Τότε το 5 αντιστοιχεί στα (5/18) του οποιουδήποτε ποσού αντιπροσωπεύει το σύνολο της πίτας αυτής. Αντίστοιχα έχουμε (6/18) και (7/18). Κάνοντας μάλιστα τη διαίρεση των κλασμάτων μεταξύ τους προκύπτει προφανώς ξανά η σχέση 5:6:7. Τώρα, στη συγκεκριμένη περίπτωση το «ποσό» που αντιπροσωπεύει συνολικά η πίτα είναι οι 180 μοίρες, το άθροισμα δηλαδή των γωνιών του τριγώνου. Αρα η μικρότερη γωνία του θα είναι τα (5/18) των 180 μοιρών, δηλαδή 50 μοίρες.
2. Ζητούσαμε να βρεθεί ο μεγαλύτερος τριψήφιος πρώτος αριθμός με τα ψηφία του να είναι τρεις διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί. Στον ζητούμενο αριθμό πιθανότητες να βρίσκονται έχουν οι 2, 3, 5, 7 (διότι η νεότερη άποψη για τους πρώτους αριθμούς είναι πως ένας πρώτος αριθμός πρέπει να διαιρείται από δύο και μόνο διαφορετικούς αριθμούς, τον εαυτό του και το 1, οπότε ο 1 αποκλείεται αν θεωρήσουμε ότι διαιρείται μόνον από έναν αριθμό). Οι 2 και 5 αποκλείεται να βρίσκονται στη θέση των μονάδων διότι τότε ο αριθμός δεν θα είναι πρώτος. Επίσης τριάδα με τους 3-5-7 ή 2-3-7 αποκλείεται διότι έχουν άθροισμα διαιρετό από το 3. Μας μένουν οι συνδυασμοί 527 και 523. Αλλά ο 527 = 17 x 31 (εδώ είναι το σατανικό κομμάτι του κουίζ και πρέπει να απολογηθούμε για όσους βασανίστηκαν από αυτό), άρα ο ζητούμενος θα είναι ο 523.
