Σήμερα θα κλείσουμε το σύντομο ταξίδι μας στην αρχαία Αίγυπτο, που, εκτός από το να μάθουμε το πώς χειρίζονταν τα κλάσματα οι άνθρωποι εκεί, μας βοήθησε να εξασκηθούμε περισσότερο στη χρήση τους για να λύνουμε πρακτικά θέματα δίκαιης διανομής αγαθών. Εκτός αυτού, είδαμε και το πώς οποιοδήποτε κλάσμα με αριθμητή μεγαλύτερο του 1 μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα άλλων, που να έχουν όλα αριθμητή 1.
Στο τέλος όμως έπρεπε να απαντηθεί το ερώτημα: Μήπως αυτή η ανάλυση κάποιες φορές κινδυνεύει να απαιτεί το άθροισμα ενός απροσδιόριστου πλήθους τέτοιων κλασμάτων; Και ξεκινήσαμε να αποδείξουμε ότι, όχι, δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο. Με αφετηρία ένα κλάσμα (ανάγωγο), το (μ/ν) με το μ < ν, οπότε θα ισχύει ότι ν = κμ +ρ με 1<= ρ <= μ – 1 και κ>=1. Είχαμε καταλήξει, παραθέτοντας μια σειρά ανισοτήτων, στο ότι το αρχικό προς ανάλυση κλάσμα, το (μ/ν), θα πρέπει να βρίσκεται «εγκλωβισμένο» ανάμεσα στα κλάσματα (1/(κ + 1)) και (1/κ). Ετσι, για παράδειγμα το (4/5) θα ισχύει πως είναι κ=1, άρα κ+1 =2, οπότε (1/2) < (4/5) < (1/1). Αφαιρούμε το (1/2) από το (4/5), προκύπτει το (3/10) και επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία (10 = 3 x 3 + 1, άρα (1/(κ+1)) = (1/(3+1)) κ.λπ.), φτάνουμε στο ότι το (4/5) με αυτόν τον τρόπο αναλύεται ακριβώς στο άθροισμα των κλασμάτων: (1/2) + (1/4) + (1/20). Δηλαδή σε 3 κλάσματα, ενώ ο αριθμητής του ήταν ίσος με 4. Αυτό ας το κρατήσουμε στο μυαλό μας για λίγο ακόμη, θα μας χρειαστεί, και να προχωρήσουμε αποδεικνύοντας πως ένα κλάσμα (μ/ν) θα αναλυθεί το πολύ σε μ βήματα, άρα σε μ κλάσματα, ίσως και λιγότερα!
Περιεχόμενο για συνδρομητές
Το παρόν άρθρο, όπως κι ένα μέρος του περιεχομένου από tovima.gr, είναι διαθέσιμο μόνο σε συνδρομητές.
