Πνευματική Γυμναστική

1Επειδή αναφερθήκαμε σε προηγούμενη συνέχεια στον Ταρτάλια, που έπαιξε ρόλο στην εισαγωγή των μιγαδικών, ας δώσουμε και ένα από τα αγαπημένα του προβλήματα: Αν το μισό του 5 ήταν 3, τότε πόσο θα ήταν το ένα τρίτο του 10;

2Γράφουμε έναν πενταψήφιο θετικό ακέραιο με την ιδιότητα το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων ψηφίων αρχίζοντας από δεξιά να είναι ίσο με το πέμπτο ψηφίο. Πόσους τέτοιους αριθμούς μπορούμε να βρούμε;

3Και ένα παλαιάς κοπής, πρακτικής αριθμητικής, του Σαμ Λόιντ που όμως έχει ενδιαφέρον: Ενας σκύλος και μια γάτα υποχρεώνονται να τρέξουν μια απόσταση 100 μέτρων και να επιστρέψουν στην αφετηρία. Πηγαίνοντας, ο σκύλος τρέχει κάνοντας άλματα των 3 μέτρων το καθένα και η γάτα άλματα των 2 μέτρων. Στην επιστροφή γίνεται ακριβώς το αντίθετο. Ποιος τερματίζει πρώτος;  

1. Σε μια δεξαμενή νερού προσαρμόζονται δύο σωλήνες Α και Β. Ο Α μπορεί να γεμίσει τη δεξαμενή σε 1,5 ώρα και ο Β να την αδειάσει στον μισό χρόνο από ό,τι ο Α. Το στόμιο όμως του Β αυτή τη φορά προσαρμόστηκε σε ένα σημείο που απέχει από τον πυθμένα στο (1/3) του ύψους της δεξαμενής. Ανοίγουμε ταυτόχρονα τις δύο αντλίες. Σε πόση ώρα θα γεμίσει η δεξαμενή; Ξεκινούμε από τον Α και παρατηρούμε πως σε μία ώρα γεμίζει τα (2/3) της δεξαμενής. Ο Β αδειάζει τη δεξαμενή στον μισό χρόνο από τον Α, άρα στη 1 ώρα αδειάζει το (1/3) της δεξαμενής. Επειδή όμως προσαρμόστηκε σε σημείο στο (1/3) της δεξαμενής πρέπει για να αρχίσει να αδειάζει ο Β να έχει ανέβει η στάθμη του νερού στο (1/3) της δεξαμενής. Αφού ο Α γεμίζει τα (2/3) σε μία ώρα, για το (1/3) χρειάζεται μισή ώρα. Στη συνέχεια μέσα σε 1 ώρα ο ένας γεμίζει τα (2/3) και ο άλλος αδειάζει το (1/3), άρα μαζί όταν λειτουργούν γεμίζει το (1/3) της δεξαμενής σε 1 ώρα. Μας έχει μείνει ακόμη (1/3), άρα άλλη 1 ώρα, οπότε συνολικά χρειάζονται 2,5 ώρες.   

2. Εχουμε στη διάθεσή μας ν ίδιους κύβους και προσπαθούμε να φτιάξουμε με αυτούς έναν όσο γίνεται πιο μεγάλο κύβο (χωρίς όμως εσωτερικά κενά). Τελικά διαπιστώνουμε πως μας λείπουν τόσοι όσοι χρειάζονται για μια σειρά ακόμη σε μια από τις πλευρές. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός ν διαιρείται ακριβώς από το 6. Υποθέτουμε ότι είναι χ ο αριθμός των μικρών κύβων σε μια πλήρη σειρά. Ισχύει ότι: ν = χ³ – χ ή ν = χ(χ² – 1), άρα ν = χ(χ + 1)(χ – 1). Αυτοί οι τρεις παράγοντες όμως εκφράζουν και τρεις διαδοχικούς θετικούς ακεραίους αριθμούς. Σε τέτοιες τριάδες συμβαίνει πάντα ο ένας τουλάχιστον παράγοντας να είναι άρτιος αριθμός και ένας διαιρείται ακριβώς με το 3. Αν όμως ένας αριθμός διαιρείται με το 2 και το 3, διαιρείται πάντα και με το 6.