1. Μια άσκηση καλή και για μικρούς μαθητές που δεν θα τους φέρει σε πλήρη αμηχανία από την αρχή διότι μπορούν να αρχίσουν να δουλεύουν έστω και αν δεν φθάσουν αυτοδύναμα μέχρι το τέλος: Αν γράψουμε όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 1 εκατομμύριο, πόσες φορές θα χρειαστεί αν χρησιμοποιήσουμε τον αριθμό 2;
2. Σε ένα χωριό κατοικούν 100 ζευγάρια (50 άνδρες με αντίστοιχα 50 γυναίκες) και μόνον αυτά. Κάποιοι από τους άνδρες απατούν τις γυναίκες τους χωρίς εκείνες να το γνωρίζουν. Ολες οι γυναίκες γνωρίζουν για όλους τους άνδρες, εκτός από τον δικό τους, αν απατούν ή όχι το ταίρι τους. Αν όμως μια γυναίκα διαπιστώσει με κάποιον τρόπο ότι ο άνδρας της την απατά τον πετάει έξω από το σπίτι μέσα στη μέση της νύχτας. Οι άνδρες πάντως ακόμη και αν γνωρίζουν δεν αποκαλύπτουν ποιος απατά ποια. Μια μέρα ο δήμαρχος του χωριού αναγγέλλει, και το μαθαίνουν όλοι, ότι υπάρχει τουλάχιστον 1 άνδρας που κάνει απιστίες. Μετά την αναγγελία κανείς δεν μιλάει περιμένοντας κάποιος άνδρας να πεταχτεί έξω από το σπίτι. Μέχρι που πέρασαν 9 νύχτες από την αναγγελία. Τη 10η όμως βρέθηκαν στον δρόμο παραπάνω από ένας ταυτόχρονα. Πόσοι ήταν αυτοί;
Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ
1. Στην 53⁄m × n1⁄2 = 19 ζητούσαμε να προσδιοριστούν οι θετικοί ακέραιοι m και n. Αν και υπάρχει ένας τρόπος λύσης αλγεβρικός και αρκετά ευθύς αξίζει ο αναγνώστης να παρακολουθήσει και μιαν άλλη πρόταση λύσης, που φθάνει σε αυτήν χάρη σε έναν πιο σύντομο αλλά και πιο «ευριστικό» τρόπο σκέψης: Από το 0 < 5 < (5+3⁄m )< 6 προκύπτει ότι 1/5 > 1/(5+3⁄m) > 1/6. Πολλαπλασιάζουμε με το 19 που είναι θετικός, οπότε δεν αλλάζει η φορά των ανισοτήτων και έχουμε: 19/5 > 19/(5+3⁄m) > 19/6 à 3,8 > 19/(5+3⁄m) > 3,1666… Από εδώ συμπεραίνουμε ότι το ακέραιο μέρος του αριθμού που αντιστοιχεί στην παράσταση ανάμεσα στο 3,8 και το 3,1666… είναι ίσο με 3. Αφού λοιπόν είναι: n + (1/2) = 19/(5+3⁄m) και ο n θα πρέπει να είναι ίσος με 3. Και από εκεί πλέον εύκολα προκύπτει και η τιμή του m = 7.
2. Εδώ είχαμε την α. και τη λ. να είναι αδελφές. Με την ηλικία της α. να είναι ΑΒ και την ηλικία της λ. να είναι ΓΔ. Αν κολλήσουμε τους δύο αριθμούς παίρνουμε τον ΑΒΓΔ που είναι και τέλειο τετράγωνο (δηλαδή η τετραγωνική του ρίζα είναι ακέραιος θετικός αριθμός). Σε 11 χρόνια η α. θα έχει ηλικία ΕΖ και η λ. ΗΘ. Αν και τότε σχηματίσουμε τον ΕΖΗΘ θα είναι και αυτός τέλειο τετράγωνο. Ποια είναι η ηλικία της καθεμιάς αυτή τη στιγμή; (Δηλαδή ζητούνται τα ΑΒ και ΓΔ.) Ως τέλειο τετράγωνο η ΑΒΓΔ ηλικία θα είναι ίση με y2. Σε 11 χρόνια η ηλικία τους θα είναι (ΑΒ + 11) και (ΓΔ + 11). Τότε ο αριθμός της ηλικίας τους θα μπορεί να γραφτεί και ως 100(ΑΒ + 11) + (ΓΔ + 11) (π.χ. ένας τετραψήφιος, ο 1923, γράφεται και ως: 19 x 100 + 22) οπότε θα ισχύει η σχέση:
ΕΖΗΘ = 100(ΑΒ + 11) + (ΓΔ + 11) (1)
με τον ΕΖΗΘ να είναι και τέλειο τετράγωνο, άρα ίσος με κάποιον αριθμό x2. Κάνουμε τις πράξεις στην (1) και προκύπτει ότι x 2 = ΑΒΓΔ + 1111. Σχηματίζουμε τη διαφορά x 2 – y 2 = (ΑΒΓΔ +1111) – ΑΒΓΔ. Οπότε (x + y)(x – y) = 1111, με το 1111 = (101)Χ(11). Αφού οι ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι τετραψήφιοι θα βρίσκονται μεταξύ 1000 και 9999, άρα οι τετραγωνικές τους ρίζες που είναι 31,62… και 99,99… μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε πως οι τιμές των x, y είναι μεγαλύτερες του 32 και μικρότερες του 99. Αρα x + y < 198 και x – y > 19 αφού x > y). Δοκιμάζουμε: x + y = 101 και x – y = 11. Λύνουμε το σύστημα και προκύπτει x = 56, y = 45 à y 2 = 2025, άρα οι ηλικίες τους είναι ΑΒ = 20 και ΓΔ = 25.
