«Τα παιδιά αρχικά θα πρέπει να αποκτήσουν «σωματική» εμπειρία, με ενέργειες όπου θα διακινούνται χειροπιαστά πράγματα και αντίστοιχα απτικής φύσης πράξεις» ήταν μια από τις προτάσεις στο προηγούμενο σημείωμα σχετικά με την πρώτη επαφή, στην αρχή της χρονιάς, με την Αριθμητική, των μικρών στο νηπιαγωγείο και την Α’ τάξη του Δημοτικού.
Η αναγγελία σχετικά με τα νέα πρότυπα σχολεία που θα ενταχθούν από το 2026 στο εκπαιδευτικό μας σύστημα, φαίνεται πως ενεργοποίησε κάποιες… ελαφρολαϊκές και κάπως αχρείαστα διθυραμβικές αντιδράσεις, στους εμπλεκόμενους πολιτικούς. Διότι από ό,τι καταλαβαίνουμε από το αναγγελθέν πρόγραμμα μάλλον σε αυτά τα σχολεία(Γυμνάσια και Λύκεια) τα επόμενα κάποια χρόνια μάλλον δεν θα πέφτουν σοβάδες στα κεφάλια όσων θα βρίσκονται στην τάξη. Και το λες και πρόοδο αυτό σε σχέση με ό,τι συμβαίνει σήμερα σε άλλα σχολεία της χώρας. Όμως έως εδώ.
Το ότι θα γίνονται και κάποιες λίγες ώρες με μαθήματα STEM(Science, Technology, Engineering, Mathematics), έτσι κάπως αόριστα, σε Γυμνάσιο και Λύκειο, δεν λύνει τα πολλά προβλήματα που προλαβαίνει να δημιουργήσει στους μαθητές και (ίσως λίγο περισσότερο)στις μαθήτριες η σημερινή διδασκαλία ως προς την πρώτη επαφή με τους αριθμούς, και (λίγο αργότερα), με τα Μαθηματικά στο Δημοτικό.
Ωραία σχολεία λένε πως θα είναι. Ψηλά στον πρώτο όροφο χτισμένα, να στηρίζονται όμως σε ξύλινες και αμφίβολης στατικότητας κολώνες , από κάτω όμως το κενό. Δηλαδή στο Δημοτικό όλα ήταν και είναι καλά; Η διδακτέα ύλη, η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών, η διδασκαλία, τα έντυπα, τα εποπτικά μέσα; Και αυτό που μας έμενε είναι τα Γυμνάσια και τα Λύκεια; Με ποια βιβλία, ποιους εκπαιδευτικούς και με ποιο τρόπο θα γίνονται αυτά τα μαθήματα STEM; Οι ολόγυρα ασχέτως πανηγυρίζοντες πανηγυριώτες γνωρίζουν πως στις Ηνωμένες Πολιτείες έχουν αρχίσει πλέον να πειραματίζονται εισάγοντας τα STEM-μαθήματα ήδη στο νηπιαγωγείο;
Οι αδύνατες διαιρέσεις
Ας επιστρέψουμε όμως στους δικούς μας καημούς που κατά κάποιο τρόπο επικυρώνουν νομίζω και τα προηγούμενα. Τελειώνοντας ακόμη και το Λύκειο πόσοι έχουν καθαρό στο μυαλό τους γιατί να μην γίνεται διαίρεση με το μηδέν;
Η διαίρεση είναι μια πράξη όχι τόσο απλή. Μας την απλοποιούν στο Δημοτικό ταυτίζοντάς την με το μοίρασμα και λίγο αργότερα φθάνουμε άντε να μάθουμε και πως «διαίρεση= μια γρήγορη αφαίρεση». Αυτό είναι όλο.Ας δούμε όμως μια διαίρεση κάπως διαφορετικά:
14:7 = 14x(1/7)=(2×7)x(1/7)=2x[7x(1/7)]=2. Με το σύμπλεγμα [7x(1/7)] να ορίζεται ως αυτή η πράξη που «επιστρέφει» το 7 στην μονάδα(η σχετική έκφραση δεν χρειάζεται να μας απασχολήσει εδώ περισσότερο). Για έναν αριθμό χ το (1/χ) λέγεται το «πολλαπλασιαστικό του αντίστροφο» που τον επαναφέρει στην μονάδα. Ας πάμε λοιπόν να εφαρμόσουμε τα προηγούμενα στο 0: Υποθέτουμε πως υπάρχει το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του 0 δηλαδή το (1/0) ώστε να έχουμε0x(1/0)=1. Έστω πως είναι ένας πραγματικός αριθμός κ. Τότε θα ισχύει ότι 0 επί κ=1 όπερ άτοπο αφού εξ ορισμού κάθε πολλαπλασιασμός με το 0 δίνει μηδέν. Επομένως μορφές του τύπου (χ/0)στο σύστημα των πραγματικών αριθμών δεν νοούνται!
Επιστροφή στις √ρίζες
*Παλαιότερα προβλήματα από το έντυπο ΒΗΜΑ, που ζήτησαν οι αναγνώστες
Πάμε σε παλαιότερους καιρούς που ο ταχυδρόμος μοίραζε αρκετά γράμματα μέσα σε μια ημέρα. Σε κάποιο χωριό υποθέτουμε πως έφθανε να μοιράζει από 1 έως το πολύ 4 επιστολές σε κάθε σπίτι. Ο αριθμός των σπιτιών που έπαιρναν σε μια ημέρα 4 επιστολές ήταν 7πλάσιος από τον αριθμό των σπιτιών που έπαιρναν 1 επιστολή. Ο αριθμός των σπιτιών που έπαιρναν 2 επιστολές ήταν 5πλάσιος από τον αριθμό των σπιτιών που λάμβαναν 1 επιστολή. Ποιος ήταν ο μέσος όρος επιστολών σε μια ημέρα για κάθε ένα από τα σπίτια;
Απάντηση: Αν α ο αριθμός των σπιτιών που έπαιρναν 1 επιστολή και β ο αριθμός των σπιτιών που έπαιρναν 3 επιστολές τότε όλα α σπίτια πήραν: α x 1 +5α x 2 + 3β +7α x 4= 39α + 3β = 3(13 α +β) επιστολές. Τα σπίτια ήταν α+5α + 7α + β = 13α + β. Διαιρούμε τα δυο αυτά και προκύπτει ο μέσος όρος: 3.
«Και άλλα προβλήματα …»;
- Για τους μικρότερους φίλους αυτής της σελίδας: Ψάχνουμε την γωνία που σχημάτιζαν οι δείκτες(για την ώρα και τ αλεπτά) ενός παλιού ρολογιού σε καμπαναριό εκκλησίας 2024 λεπτά πριν από την στιγμή που έχουν συμπέσει δείχνοντας 12 τα μεσάνυχτα.
- Οκτώ χορδές χαράσσονται σε έναν κύκλο έτσι ώστε να τέμνονται μεταξύ τους σε όσο το δυνατόν περισσότερα σημεία. Ζητείται ο αριθμός των περιοχών που δημιουργούνται από αυτές τις τομές στην επιφάνεια που περικλείεται από την συγκεκριμένη περιφέρεια.
- Κάποιος πατέρας παρατήρησε πως όταν εκείνος ήταν 52 ετών η κόρη του ήταν 25, δηλαδή τα ψηφία της δικής του ηλικίας αντίστροφα. Και όταν εκείνη θα ήταν 47 εκείνος θα γιόρταζε τα 74 γενέθλιά του. Έθεσε λοιπόν το ερώτημα: Συμβαίνει αυτό σε όλους τους γονείς με τα παιδιά τους; Και ψάχτηκε να δει τί συμβαίνει και με τον γιό του που ήταν κατά 3 χρόνια νεώτερος από την κόρη του. Εσείς τί λέτε;
Επί τέλους… Oι λύσεις
Απάντηση 1
Πρώτα θα πρέπει να βρούμε τί ώρα ήταν 2024 λεπτά πριν από τις 12 ακριβώς. Τα 2024 λεπτά, διαιρώντας με το 60, που είναι όσα λεπτά έχει η 1 ώρα, αντιστοιχούν σε χρόνο 33 ωρών και 44 λεπτών. Αφαιρούμε τα εικοσιτετράωρα που περιέχονται στις 33 ώρες, εδώ είναι 1 μόνον και μας μένουν 33-24= 9 ώρες και 44 λεπτά. Δηλαδή, προσοχή, για την μέτρηση του χρόνου, από τότε που άρχισε αυτή μέχρι να δείξουν οι δείκτες για πρώτη φορά 12 ακριβώς είχαν περάσει 9 ώρες και 44 λεπτά. Άρα η μέτρηση άρχισε στις 12 –(9 και 44) που μπορεί να γραφτεί (11 και 60)-(9 και 44), μια αφαίρεση συμμιγών δηλαδή που δίνει αποτέλεσμα 2 ώρες και 16 λεπτά. Τόσο έδειχναν οι δείκτες του ρολογιού όταν άρχισε η μέτρησηΣτην συνέχεια, για την λύση, έχουμε να αντιμετωπίσουμε ένα δεύτερο κλασικό πρόβλημα, δηλαδή όταν οι δείκτες δείχνουν αυτήν την ώρα ποια γωνία σχηματίζεται μεταξύ τους.
Εδώ είναι καλό να έχουμε υπόψη μας κάποια στοιχεία που ισχύουν πάντα:
1. Για τον Λεπτοδείκτη ενός κλασικού ρολογιού ισχύει ότι κάθε λεπτό που περνάει στρέφεται κατά 6 μοίρες.
Για τον Ωροδείκτη ισχύει ότι μέσα σε 1 ώρα στρέφεται κατά 30 μοίρες οπότε για κάθε λεπτό στρέφεται κατά (30/60)= 0,5 μοίρες.
Επομένως στις 2 ώρες και 16 λεπτά, ο ωροδείκτης σε σχέση με την ώρα 12 ακριβώς θα έχει στραφεί κατά γωνία 2×30 +16x(1/2)= 68 μοίρες. Και ο λεπτοδείκτης κατά 16×6=96 μοίρες. Άρα η γωνία μεταξύ τους θα είναι ίση με την διαφορά 96-68=28 μοίρες.
Πολλές φορές απλούστερα προβλήματα μας δίνουν την αφορμή να γενικεύουμε. Αυτό θα κάνουμε και εδώ. Δηλαδή θα προσπαθήσουμε να βρούμε έναν γενικό τύπο όπου όταν μας δίνουν την ώρα που δείχνουν οι δείκτες με την μορφή Α:Β (Α οι ώρες, Β τα λεπτά)να βρίσκουμε κατευθείαν την γωνία των δεικτών!
Για τον αριθμό των ωρών, κατά τα προηγούμενα, Η γωνία του ωροδείκτη ως προς τις 12 ακριβώς θα προσδιορίζεται από την σχέση: Ωγων = Αx30 +Bx(1/2). Για τον λεπτοδείκτη θα ισχύει Λγων = 6XΒ. Άρα η διαφορά τους θα είναι Ωγων- Λγων = [Αx30 +Bx(1/2)- 6XΒ] και τελικά: Ωγων- Λγων = απόλυτη τιμή της διαφοράς Αx30-5,5Β.
Δοκιμάζουμε τον τύπο αυτόν στο προηγούμενο πρόβλημα με την ώρα να είναι 2 και 16 λεπτά, και προκύπτει: 2×30-5,5×16 = 60-88 δηλαδή 28 μοίρες. Όπως και πριν.
Απάντηση 2
Εδώ θα αντιμετωπίσουμε το συγκεκριμένο πρόβλημα στην γενικότερη μορφή του που είναι η εξής: Σε έναν κύκλο ορίζουμε ν χορδές έτσι ώστε η κάθε μια να τέμνει όλες τις άλλες και να μην συμβαίνει τρεις ή περισσότερες να τέμνονται στο ίδιο σημείο. Ζητείται να προσδιορίσουμε πόσες ανεξάρτητες περιοχές ορίζουν αυτές οι ν χορδές.
Αν ξεκινήσουμε γράφοντας έναν κύκλο και αυξάνουμε τον αριθμό των χορδών(με βάση τις προδιαγραφές που δόθηκαν) θα παρατηρήσουμε πως στον αριθμό των χορδών 1, 2, 3, 4, 5, 6 … αντιστοιχούν 2, 4, 7, 11, 16, 22 … περιοχές. Οι αριθμοί των περιοχών αυξάνονται με την σειρά για κάθε επί πλέον χορδή αντίστοιχα κατά 2, 3, 4, 5, 6 … Αυτή η παρατήρηση εύκολα θα μας δώσει και την απάντηση για τις 8 χορδές. Διότι προχωρώντας τα παραπάνω για 7 χορδές θα προκύψουν 22+7= 29 περιοχές και για 8 χορδές 29+8=37 περιοχές.
Για την ερώτηση «Και αν μας ζητήσουν τις περιοχές για 45 ή73 χορδές;» υπάρχει απάντηση και είναι η εξής: Ο αριθμός για ν περιοχές είναι 1+(1+2+3+…+ν)= 1+[ν(ν+1)/2]= [(2+ν2+ν)/2]. Από εκεί βρίσκουμε τις περιοχές για όποιο ν μας δώσουν. Π.χ. για ν=8 παίρνουμε και πάλι (2+64+8)/2=37.
Απάντηση 3
Αν είναι Π ο αριθμός των δεκάδων στην ηλικία του πατέρα και π ο αριθμός των μονάδων στην ηλικία του τότε για την ηλικία της κόρης του θα είναι π ο αριθμός των δεκάδων και Π ο αριθμός των μονάδων. Οι ηλικίες τους θα είναι ως εξής: (Πx10 +π) για τον πατέρα και (πx10+Π) για την κόρη. Η διαφορά των ηλικιών τους είναι: (Πx10 +π) – (πx10+Π) άρα (Πx9 – πx9) ή αλλιώς 9(Π-π). Δηλαδή η διαφορά τους είναι πολλαπλάσιο του 9. Παρατηρούμε πως και (52-25)=27=3×9 και (74-47)=27=3×9. Αν επομένως όταν εκείνος είναι 52 η ηλικία του γιού είναι 22 τότε τα παραπάνω δεν ισχύουν για τους δυο τους.
Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στη διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr.
