από metereologos.gr
Πέμπτη 20 Ιουλίου 2017
 
 

Ελληνική σφραγίδα στα μαθηματικά του 21ου αιώνα

Ελληνες επιστήμονες παρουσίασαν σημαντικές εργασίες σε διεθνές συνέδριο για την Θεωρία των Κόμβων που έγινε στην Αρχαία Ολυμπία
Ελληνική σφραγίδα στα μαθηματικά του 21ου αιώνα
Οπως αποδεικνύεται οι σύγχρονοι έλληνες μαθηματικοί συντηρούν με τον καλύτερο τρόπο την μακραίωνη σχέση των ελλήνων με τα μαθηματικά
εκτύπωσημικρό μέγεθος  μεγάλο μέγεθος

 

Για ένα άγνωστο για το ευρύ κοινό αλλά εξαιρετικά ενδιαφέροντα τομέα των μαθηματικών διοργανώθηκε μεγάλο διεθνές συνέδριο στην Αρχαία Ολυμπία. Η λεγόμενη Θεωρία των Κόμβων αφορά ανώτερα μαθηματικά με πολλές και πολυδιάστατες εφαρμογές. Στο συνέδριο κεντρικό ρόλο είχαν έλληνες επιστήμονες που παρουσίασαν νέες ιδέες και εφαρμογές στον περίπλοκο κόσμο των μαθηματικών κόμβων.

Το συνέδριο

Το Συνέδριο “Knots in Hellas 2016” έλαβε χώρα στην Διεθνή Ολυμπιακή Ακαδημία στην Αρχαία Ολυμπία (ΔΟΑ) από 17 έως 23 Ιουλίου 2016. Διοργανώθηκε από το Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) με την συνδιοργάνωση της Περιφέρειας Δυτικής Ελλάδας και της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας. Είχε την υποστήριξη της Ευρωπαϊκής Μαθηματικής Εταιρίας, του National Science Foundation (NSF) των ΗΠΑ, του Δήμου Αρχαίας Ολυμπίας, του Δήμου Ζαχάρως, του ΕΒΕΑ κ.ά. Τέλεσε δε υπό την αιγίδα του Υπουργείου Παιδείας και του Υπουργείου Πολιτισμού. Το Συνέδριο εστίασε επιστημονικά στον κλάδο των Μαθηματικών “Θεωρία Κόμβων, Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων και Εφαρμογές”. Συμμετείχαν δε περί τους 140 διεθνείς ερευνητές από 25 χώρες, από διδακτορικούς φοιτητές μέχρι τους πιο έμπειρους ερευνητές.

Το πρόγραμμα του Συνεδρίου περιλάμβανε κεντρικές εισηγήσεις από κορυφαίους επιστήμονες, συνεδρίες ανακοινώσεων έρευνας αιχμής και παρουσιάσεις επιστημονικών posters. Παρουσιάστηκαν συνολικά 94 ερευνητικές ομιλίες από μαθηματικούς, φυσικούς και μοριακούς βιολόγους, καλύπτοντας ένα ευρύ φάσμα επιστημονικών πεδίων σχετικών με την Θεωρία Κόμβων και την Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων και δίνοντας έμφαση, πέρα από τις θεωρητικές επιστημονικές περιοχές, στις σημαντικές εφαρμογές σε άλλες επιστήμες, όπως Φυσική, Χημεία, Βιολογία και Ιατρική.

Συγκεκριμένα, το Συνέδριο εστίασε σε τοπολογικές αναλλοίωτες κόμβων και κρίκων, ομάδες πλεξίδων, τοπολογικές θεωρίες κβαντικού πεδίου, πρότυπα skein και άλγεβρες κόμβων, σε ομολογίες quandles, σε υπερβολικούς κόμβους και γεωμετρικές δομές των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων, στην τοπολογική χειρουργική, σε φυσικούς κόμβους και στις εφαρμογές τους σε ροές υγρών, στην αστροφυσική, σε πολυμερή και βιοφυσική, στους μηχανισμούς DNA και στη δομή και λειτουργία των πρωτεϊνών.

Οι κόμβοι

Η Θεωρία Κόμβων είναι ένας κλάδος της Τοπολογίας Χαμηλών Διαστάσεων που έχει ως βασικό στόχο την ταξινόμηση των κόμβων και των κρίκων, ένα από τα μεγάλα ανοικτά προβλήματα των μαθηματικών. Ένας κόμβος είναι μία κλειστή καμπύλη στο χώρο, χωρίς αυτοτομές. Ένας κρίκος είναι πολλές τέτοιες καμπύλες στο χώρο, που επιπλέον μπορούν να διαπλέκονται και μεταξύ τους. Οι κόμβοι απαντώνται με φυσικό τρόπο στην ύφανση και στην χρήση των σχοινιών από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα και οι γνωστοί ναυτικοί κόμποι είναι τέτοια παραδείγματα. Από μαθηματικής σκοπιάς, ένας κόμβος είναι μία εμφύτευση του κύκλου στον τρισδιάστατο Ευκλείδιο χώρο και ένας κρίκος είναι μία εμφύτευση περισσότερων κύκλων στο χώρο. Δύο κόμβοι (ή κρίκοι) θεωρούνται ισοδύναμοι όταν είναι εφικτό να παραμορφώσουμε τον έναν στον άλλον χωρίς να χρειαστεί να "κόψουμε".

Δεν υπάρχει αλγόριθμος που να καθορίζει αν δύο τυχαίοι κόμβοι είναι ισοδύναμοι ή όχι. Για να αποφανθούμε σε ένα τέτοιο ερώτημα χρησιμοποιούμε τις αναλλοίωτες κόμβων, συναρτήσεις που αντιστοιχούν κόμβους και κρίκους σε αριθμούς, πολυώνυμα, κλπ, έτσι ώστε ισοδύναμοι κόμβοι ή κρίκοι να παίρνουν την ίδια τιμή. Παραδείγματα αποτελούν: ο αριθμός ελαχίστων διασταυρώσεων σε ένα διάγραμμα, ο αριθμός περιέλιξης Gauss, το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο Kauffman bracket, οι κβαντικές αναλλοίωτες, κ.ά. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι κατασκευής αναλλοίωτων κόμβων, πολλές από τις οποίες χρησιμοποιούν εργαλεία και από άλλους τομείς των μαθηματικών. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο Jones κατασκευάστηκε το 1984 μέσω των ομάδων πλεξίδων του Artin και των αλγεβρών Hecke. Για την εργασία του αυτή ο Β.Φ.Ρ. Τζόουνς έλαβε το 1989 το βραβείο Fields (αντίστοιχο του βραβείου Nobel για μαθηματικούς).

Τον περίπλοκο κόσμο των μαθηματικών κόμβων προσέγγισαν οι επιστήμονες στο διεθνές συνέδριο της Αρχαίας Ολυμπίας

Κόμβοι 3D

Ο Καθηγητής Β.Φ.Ρ. Τζόουνς του Πανεπιστημίου Vanderbilt των ΗΠΑ παρουσίασε στο συνέδριο μία νέα αναπαράσταση κόμβων, χρησιμοποιώντας όχι την ομάδα πλεξίδων αλλά την ομάδα Thompson. Μέσω των αποτελεσμάτων του έθεσε τα θεμέλια για την κατασκευή νέων σημαντικών αναλλοίωτων κόμβων και τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων από την ομάδα Thompson. Ο καθηγητής Κ.Ανταμς του Williams College των ΗΠΑ (συγγραφέας μεταξύ άλλων του “Zombies and Calculus”) παρουσίασε νέα αποτελέσματα στην θεωρία τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων.

Ο Καθηγητής Λ.Χ.Κάουφμαν του Πανεπιστημίου του Ιλινόι στο Σικάγο ανασκόπησε την θεωρία του των εικονικών κόμβων, η οποία έχει χρησιμοποιηθεί και στην μελέτη των πρωτεϊνών (ανακοίνωση Α.Τέιλορ του Πανεπιστημίου του Bristol). Η καθηγήτρια Σ. Λαμπροπούλου του ΕΜΠ παρουσίασε πρόσφατα αποτελέσματά της με τους Κ. Καρβούνη του Πανεπιστημίου της Ζυρίχης, Μ. Χλουβεράκη του Πανεπιστημίου των Βερσαλλιών, Tζ. Τζουγιουμάγια του Πανεπιστημίου Valparaiso της Χιλής, Δ. Γκουνταρούλη του ΕΜΠ, Α. Κοντογιώργη του ΕΚΠΑ και Ι. Διαμαντή του Διεθνούς Πανεπιστημίου του Πεκίνου πάνω σε νέες αναλλοίωτες κρίκων, οι οποίες αποτελούν γενίκευση του πολυωνύμου Jones 2-μεταβλητών. Οι αναλλοίωτες αυτές μπορούν να εφαρμοστούν στην κατασκευή νέων αναλλοίωτων τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων, παρεμφερών των αναλλοίωτων Witten, στην κατασκευή νέων μοντέλων στατιστικής μηχανικής, παρεμφερών του μοντέλου Potts για το λιώσιμο του πάγου, στην μελέτη των τοπολογικών περιπλέξεων πολυμερών, κ.α.

Η Θεωρία Κόμβων σχετίζεται επίσης με την θεωρία γραφημάτων και με την θεωρία των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων μέσω της τοπολογικής χειρουργικής. Έχει δε ευρείες προεκτάσεις σε άλλες επιστήμες, όπως στην Φυσική, στην Βιολογία και στην Χημεία και μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πρόβλημα όπου εμφανίζονται τοπολογικές διαπλοκές. Στη σύγχρονη φυσική έχει προταθεί ότι πεπλεγμένες δομές απαντώνται στα κβαντικά πεδία στο πυρηνικό επίπεδο, ενώ κόμβοι έχουν βρεθεί και στις θεωρίες κβαντικής βαρύτητας και στην θεωρία χορδών. Επίσης, κόμβοι παρατηρούνται σε τυρβώσεις ροών.

Η τρισδιάστατη μορφή των κόμβων αποτέλεσε σημαντικό μέρος του συνεδρίου

Κόμβοι DNA

Στη μοριακή βιολογία, η θεωρία κόμβων έχει βρει σημαντικές εφαρμογές στις φυσικές λειτουργίες του DNA και στην δομή των πρωτεϊνών, με προεκτάσεις στην έρευνα για τον καρκίνο. Πιο συγκεκριμένα, η δομή της διπλής έλικας του DNA, το μεγάλο μήκος και η συμπάκτωσή του, καθώς και οι κανονικές διεργασίες νουκλεϊκών οξέων παράγουν έναν αριθμό τοπολογικών προβλημάτων, όπως η θετική και αρνητική υπερελίκωση του DNA και η περίπλεξή του (ένα μόριο DNA με ενωμένα άκρα είναι συνήθως ένας μπλεγμένος κόμπος). Αυτά καλείται το κύτταρο να τα επιλύσει κατά την διάρκεια των φυσικών λειτουργιών του (αντιγραφή, αναδιάταξη, μίτωση, κλπ), για την επιβίωσή του. Για παράδειγμα, το επίπεδο υπερελίκωσης του DNA καθορίζει διεργασίες όπως η αντιγραφή και η μεταγραφή του, όπου οι τοπολογικές περιπλέξεις πρέπει να αφαιρεθούν έτσι ώστε η διπλή έλικα να μπορέσει να ανοίξει και να διαχωριστούν τα χρωμοσώματα κατά την διάρκεια της μίτωσης. Ας φανταστούμε ότι, ακόμα και αν η διπλή έλικα έκανε απλώς μισή στροφή, όπως η ταινία του Μαίμπιους (Möbius), αν σκιστεί στη μέση δημιουργεί ήδη έναν κόμπο, τον απλό, που πρέπει να λυθεί.

Τα ένζυμα που είναι υπεύθυνα για την λύση των περιπλέξεων λέγονται τοποϊσομεράσεις και είναι κρίσιμα για την συντήρηση της ίδιας της ζωής. Οι τοποϊσομεράσεις τύπου Ι ρυθμίζουν την υπερελίκωση του DNA δημιουργώντας παροδικές διασπάσεις σε μία κλωστή του γενετικού υλικού. Οι τοποϊσομεράσεις τύπου ΙΙ ρυθμίζουν την υπερελίκωση του DNA και αφαιρούν κόμβους και περιπλέξεις δημιουργώντας παροδικές διασπάσεις και των δύο κλωστών στην διπλή έλικα του DNA. Η θεωρία κόμβων μπορεί να μοντελοποιήσει τον μηχανισμό δράσης αυτών των ενζύμων (και το έχει κάνει σε συγκεκριμένα πειράματα αναδιάταξης). Ο καθηγητής Ν.Οσεροφ του Πανεπιστημίου Vanderbilt παρουσίασε στο συνέδριο το πώς οι τοποϊσομεράσεις αναγνωρίζουν την τοπολογία του DNA, την τρέχουσα επιστημονική δραστηριότητα στην συγκεκριμένη περιοχή, καθώς και την πρόσφατη ερευνητική του εργασία στο θέμα, ιδιαίτερα σε σχέση με το επίπεδο υπερελίκωσης του DNA.

Επίσης, κόμβοι και slipknots έχουν αναγνωριστεί στο alpha carbon backbone των πρωτεϊνών, υποδηλώνοντας δομικές και λειτουργικές συνέπειες. Στο συνέδριο συζητήθηκαν πιθανές βιολογικές λειτουργίες των πρωτεϊνών με δομή σύνθετου βρόγχου (lasso). Μία τέτοια ταξινόμηση παρουσιάστηκε από τον καθηγητή
Π.Νταμπρόβσκι
του Πανεπιστημίου της Βαρσοβίας. Αν κανείς προσθέσει την παρουσία του cysteine bonding, νέα φαινόμενα περίπλεξης εμφανίζονται στην βιοφυσική των πρωτεϊνών, καθώς και χωρικά περιπλεγμένα γραφήματα. Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι μία σωστή κατανόηση της βιολογίας απαιτεί εργαλεία από την θεωρία κόμβων και ότι η ίδια η θεωρία κόμβων μπορεί να εμπνευστεί από την ανακάλυψη εξωτικών δομών στα βιοπολυμερή.

Ένα άλλο παράδειγμα εφαρμογών της θεωρίας κόμβων είναι η μελέτη τοπολογικών περιπλέξεων σε τήγματα πολυμερικών αλυσίδων. Η ποσοτικοποίηση των περιπλέξεων αυτών μέσω τοπολογικών μέτρων της θεωρίας κόμβων μπορεί να προσφέρει κρίσιμες πληροφορίες για τις φυσικές ιδιότητες των πολυμερών. Σε άλλες περιοχές της χημείας, η κατασκευή πεπλεγμένων συνθετικών μορίων για την παρασκευή νέων υλικών είναι επίσης ένα εν εξελίξει ερευνητικό αντικείμενο που αντλεί σημαντικές πληροφορίες από την θεωρία κόμβων. Στην ανακοίνωσή του, ο Καθηγητής Κ. Mιλέτ του Πανεπιστημίου της California, Santa Barbara συνόψισε πρόσφατα ερευνητικά αποτελέσματα στον επιστημονικό αυτό κλάδο.

Κόμβοι φωτός

Στην περιοχή της φυσικής τώρα, το ενδεχόμενο ότι τα πεδία του φωτός μπορεί να περιλαμβάνουν κόμβους είναι μία ερώτηση που έχει τεθεί από την υπόθεση του λόρδου Kelvin ότι τα άτομα είναι πεπλεγμένες τυρβώσεις μέσα στον αιθέρα. Στο συνέδριο παρουσιάστηκαν αποτελέσματα της ερευνητικής ομάδας του Καθηγητή M. Ντένις του Πανεπιστημίου του Bristol, σύμφωνα με τα οποία ένα φυσικό πλαίσιο για την δημιουργία κόμβων στο φως είναι ως οπτικές τυρβώσεις, οι οποίες είναι δεσμικές γραμμές έντασης που απαντώνται φυσικά σε διαδιδόμενα κύματα ίδιας συχνότητας και με σταθερή διαφορά φάσης. Τα διαδιδόμενα πεδία φωτός μπορούν να δομηθούν χρησιμοποιώντας οπτικά ολογράμματα για την δημιουργία πεδίων οπτικών τυρβώσεων με μία ευρεία γκάμα διαφορετικών κόμβων, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εμφύτευση κόμβων σε άλλα φυσικά συστήματα, όπως τα κβαντικά υγρά. Τέλος, η φυσική σκέδαση του φωτός από μη λείες επιφάνειες έχει μία απροσδόκητα σύνθετη πεπλεγμένη δομή τυρβώσεως. Αυτό περιγράφεται με υπολογιστικές προσομοιώσεις του κ. Ντένις και συνεργατών του, στις οποίες εμφανίζονται κομβοειδείς τυρβώσεις.

Μένοντας στην περιοχή της φυσικής, ο καθηγητής Ρ.Λ. Ρίκα του Πανεπιστημίου Bicocca του Μιλάνου παρουσίασε την έρευνά του με τον καθηγητή Ξιν Λιού του Τεχνολογικού Πανεπιστημίου του Πεκίνου σχετικά με την ανασύνδεση και τον αναδιάταξη γειτονικών κλωστών σε κόμβους τυρβώσεων. Οι τυρβώσεις κόμβων υποβάλλονται σε μία φθίνουσα διεργασία, κατά την διάρκεια της οποίας η τοπολογική πολυπλοκότητα μειώνεται μέσω σταδιακής αποσύνδεσης (unlinking). Χρησιμοποιώντας το πολυώνυμο Jones 2-μεταβλητών, βρέθηκε ότι αυτή η φθίνουσα διεργασία ακολουθεί ένα μονοπάτι ανιχνεύσιμο από μία μοναδική και μονοτονικώς φθίνουσα ακολουθία αριθμητικών τιμών.

Η ελίκωση (αναλλοίωτη Gauss) είναι μία ποσότητα που καθορίζει ουσιαστικά την εξέλιξη των μαγνητικών πεδίων σε πολλά ουράνια σώματα. Η αυτοδιέγερση μεγάλης κλίμακας μαγνητικών πεδίων (dynamo) ελέγχεται από την ελίκωση των γραμμών τυρβώσεων. Στην σύγχρονη αστρονομία που βασίζεται στην παρατήρηση έχουν γίνει πολλές προσπάθειες για να παρατηρηθούν επιτυχώς αυτές οι ελικώσεις. Σύμφωνα με την έρευνα του Καθηγητή Ντ. Σοκόλοφ του Πανεπιστημίου Moscow State, ο ρόλος των αναλλοίωτων ανώτερης ελίκωσης στην δράση των dynamo παραμένει ακόμα ασαφής, ωστόσο μπορεί να είναι σημαντικές ως καθοριστικός παράγοντας για την μείωση του μαγνητικού πεδίου.

Τέλος, η τοπολογική χειρουργική είναι μία θεωρητική τεχνική για την κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων από ήδη γνωστούς. Όμως, στις διαστάσεις 1, 2 και 3 εμφανίζεται σε πάρα πολλές φυσικές διεργασίες τόσο μικρής όσο και μεγάλης κλίμακας. Για παράδειγμα, στην επανασύνδεση κοσμικών μαγνητικών γραμμών, στην αναδιάταξη του DNA, στο σχηματισμό τυφώνων, στην μίτωση του κυττάρου και στον σχηματισμό μελανών οπών. Οι παρατηρήσεις αυτές είναι αποτέλεσμα πολυετούς ερευνητικής εργασίας της Σ. Λαμπροπούλου και του Σ. Αντωνίου του ΕΜΠ. Στο συνέδριο παρουσίασαν πολλά τέτοια παραδείγματα, καθώς και την σύνδεση ενός τύπου χειρουργικής με ένα δυναμικό σύστημα, προτείνοντας έτσι την μοντελοποίηση κάποιων φυσικών φαινομένων μέσω τοπολογίας.


O ρόλος των κόμβων ως DNA απασχολεί πολλούς επιστήμονες σε διαφόρους κλάδους

Το συνέδριο

Για το πολύ ενδιαφέρον συνέδριο μίλησε στο ΒΗΜΑ η Δρ. Σοφία Λαμπροπούλου καθηγήτρια της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Τομέας Μαθηματικών του ΕΜΠ και Προέδρος της Διεθνούς Οργανωτικής Επιτροπής συνεδρίου “Knots in Hellas 2016

Μιλήστε μας για την οργάνωση και προετοιμασία ενός τέτοιου συνεδρίου

Η προετοιμασία για το διεθνές συνέδριο Knots in Hellas 2016 ξεκίνησε πριν ενάμισυ χρόνο. Ομολογώ ότι ήταν επίπονη και χρονοβόρα, προκειμένου να γίνει τόσο ο επιστημονικός όσο και ο διοργανωτικός συντονισμός. Ήταν δε και ιδιαίτερα αγχώδης, λόγω της αναζήτησης επαρκών οικονομικών πόρων. Το αποτέλεσμα όμως δικαίωσε πλήρως όλες τις προσπάθειές μας με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, όπως αυτό διαπιστώθηκε τόσο κατά την διάρκεια του εξαήμερου συνεδρίου, όσο και από τα δεκάδες συγκινητικά και εγκωμιαστικά σχόλια που έλαβα από συναδέλφους συνέδρους. Το πρόγραμμα του συνεδρίου, αν και εντατικό, είχε μία πολύ καλή ισορροπία ανάμεσα σε ερευνητικές ανακοινώσεις θεωρητικού περιεχομένου και σε πολύ ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Έτσι αποδείχθηκε, για μια ακόμα φορά, η εξωστρέφεια των μαθηματικών και των ανθρώπων που ασχολούνται με αυτά, ως μέσο κοινής επικοινωνίας, επιστημονικής σκέψης και διεπιστημονικής συνεργασίας, προάγοντας τη γνώση και την επιστήμη σε τομείς που άπτονται της καλυτέρευσης της ζωης του ανθρώπου. Είχε, επίσης, ισορροπία ως προς συμπληρωματικές δραστηριότητες και χρόνο, που παρείχαν μία μοναδική ευκαιρία για να συναντηθούν και να αλληλεπιδράσουν επιστήμονες από όλες τις ηπείρους, από λιγότερο και περισσότερο αναπτυγμένες χώρες, και να αναδειχθούν νέες διεπιστημονικές συνεργασίες. Και όλα αυτά στο ιδεώδες περιβάλλον της Διεθνούς Ολυμπιακής Ακαδημίας, κάτω από την σκιά του Κρόνειου λόφου και δίπλα στο Αρχαίο Στάδιο και το μνημείο του Pierre de Coubertin.

Είναι γεγονός ότι η ανάθεση της διοργάνωσης αυτού του συνεδρίου αποτελεί ιδιαίτερη τιμή για εμένα και με την ευκαιρία αυτή θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά όλους τους συνδιοργανωτές, όλους τους φορείς που το στήριξαν και όλους όσους συνέβαλαν στην επιτυχή διοργάνωσή του. Η πρόκληση των επόμενων μηνών είναι η σύνθεση των επιστημονικών ανακοινώσεων του συνεδρίου για τη δημοσίευσή τους σε Τόμο Πρακτικών από τον διεθνούς κύρους και φήμης εκδοτικό οίκο Springer. Αναμένεται να αποτελέσει σημείο βιβλιογραφικής αναφοράς, απ’ όπου και θα προκύψουν εκατοντάδες ετεροαναφορών καθώς και ερεθίσματα για νέα ερευνητικά μονοπάτια.

Ηταν όντως οι έλληνες επιστήμονες εκ ων πρωταγωνιστών του συνεδρίου;

Αισθάνομαι ιδιαίτερα περήφανη για το υψηλό ερευνητικό επίπεδο των εργασιών που παρουσίασαν Έλληνες επιστήμονες. Γεγονός που αποδεικνύει για μια ακόμα φορά την εκτίμηση που χαίρει η χώρα μας στο διεθνή επιστημονικό περίγυρο. Τρανή απόδειξη αυτού, η σωρεία προτάσεων που έγιναν προς εμένα και μέλη της ερευνητικής μου ομάδας για νέες συνεργασίες και συμμετοχή σε διεθνή ερευνητικά προγράμματα, πολλαπλασιάζοντας τις ευκαιρίες για τους φοιτητές μου και τους συνεργάτες μου στο διεθνή στίβο. Αυτό είναι και η μεγαλύτερη δικαίωση ενός πανεπιστημιακού δασκάλου.

Για περισσότερες λεπτομέρειες μπορεί κανείς να επισκεφθεί την ιστοσελίδα του Συνεδρίου: http://www.math.ntua.gr/~sofia/KnotsinHellas2016




Μαθηματικά – Πληροφορική  περισσότερες ειδήσεις

εκτύπωσημικρό μέγεθος  μεγάλο μέγεθος

ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΕΠΙΣΗΣ

 
 
σχόλια (0)
 
 
απομένουν 700 χαρακτήρες
Τα πεδία που είναι σημειωμένα με * είναι υποχρεωτικά
 
Τα μηνύματα που δημοσιεύονται στο χώρο αυτό εκφράζουν τις απόψεις των αποστολέων τους. Το ΒΗΜΑ δεν υιοθετεί καθ’ οιονδήποτε τρόπο τις απόψεις αυτές. Ο καθένας έχει δικαίωμα να εκφράζει την γνώμη του, όποια και να είναι αυτή. Δεν δημοσιεύονται συκοφαντικά ή υβριστικά σχόλια και όσα είναι γραμμένα με κεφαλαία γράμματα. Τέτοια μηνύματα θα διαγράφονται όποτε εντοπίζονται.