Γιατί τα οφέλη των Μαθηματικών τείνουν στο… άπειρο

Πού προκόβουν περισσότερο τα Μαθηματικά, στο βουνό ή στη θάλασσα; Δίπλα στα ποτάμια ή στις πεδιάδες; Τι θα μπορούσε να συμβεί αν σε μια χώρα ή και σε μια ολόκληρη ήπειρο αποφάσιζαν για τα επόμενα 15 χρόνια να μη διδάσκονται Μαθηματικά ή Αριθμητική στα σχολεία και μόνο όσοι διάλεγαν θετικές επιστήμες μετά το Λύκειο να μάθαιναν όσα θα χρειάζονταν; Πώς θα μοιράσει δίκαια σε μια καλοκαιρινή κατασκήνωση ένας ομαδάρχης επτά πεπόνια σε οκτώ παιδιά; Και αν πρέπει τρία παιδιά να μοιραστούν μεταξύ τους έντεκα πεπόνια;

Τα Μαθηματικά ως κληρονομιά

Διάλογος μεταξύ συνομηλίκων, με ηλικία γύρω στα 18:

– Κόλλησε το μυαλό μου, 53 και 62 πόσο δίνει; Βοηθάς λίγο;

– Ναι, βέβαια, μια στιγμή να το γκουγκλάρω…

Οι άνθρωποι της εκκλησίας στα θέματα του περιβάλλοντος, απευθυνόμενοι στο ποίμνιο, θέλουν πάντα να θυμίζουν ότι η κτήση μάς έχει δοθεί ως κληρονομιά και εμείς είμαστε μόνο διαχειριστές, έχοντας και την υποχρέωση στη συνέχεια να την παραδώσουμε στους επόμενους και βέβαια σε όσο καλύτερη κατάσταση γίνεται.

Δανείζομαι αυτή την άποψη γιατί θεωρώ ότι ταιριάζει και για τα Μαθηματικά. Αλλά για να την υποστηρίξω θα στηριχτώ πρώτα σε κάτι φαινομενικά εντελώς άσχετο, που έχει συμβεί και καταγραφεί από τα μέσα του 19ου αιώνα. Πρόκειται για μια ομάδα Εσκιμώων που κατοικούσε σε απομονωμένη περιοχή της Βορειοδυτικής Γροιλανδίας. Μια επιδημία προκάλεσε πολυάριθμους θανάτους, ιδιαίτερα σε όσους ανήκαν στον μεγαλύτερης ηλικίας πληθυσμό. Οι παραδόσεις της ομάδας αυτής απαιτούσαν η ταφή του καθενός να συνοδεύεται από την ταφή μαζί του και των εργαλείων και των όπλων του. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα τα επόμενα χρόνια οι νεότεροι να αντιμετωπίσουν μια εξαιρετικά δύσκολη και πρωτόγνωρη κατάσταση. Είχε χαθεί και η εμπειρία των μεγαλύτερων, και η παράδοση των γνώσεων, και ένα μεγάλο μέρος από τα τόσο απαραίτητα όπλα και εργαλεία, που φυσικά δεν μπορούσες να πας να τα βρεις εύκολα σε κάποιο υπερ-κατάστημα. Πέρασαν 40 χρόνια κρίσης και δυσκολιών γι’ αυτή την ομάδα, η οποία επιβίωσε χάρη στη βοήθεια και στις γνώσεις κάποιας άλλης ομάδας Εσκιμώων της περιοχής.

Αν καταγράψουμε προσεκτικά τις καθημερινές κινήσεις μας και τον τρόπο ζωής μας, εύκολα, σε μια πρώτη προσέγγιση, διαπιστώνουμε πως στηριζόμαστε στις περισσότερες περιπτώσεις, σε ποσοστό πάνω από 90%, σε έτοιμες γνώσεις παρμένες από μεγαλύτερους στην ηλικία, από πρακτικές και τεχνικές άλλων διαφόρων ηλικιών. Από τον τροχό και τα εργαλεία που άλλοι πολύ πιο πριν κατασκεύασαν, έως αυτά που αγοράζουμε σήμερα και τα όσα αποτελούν τη διατροφή μας ή το ντύσιμό μας.

Ερχονται λοιπόν κάποιοι που μελετούν την εξέλιξη του ανθρώπινου είδους πίσω στον χρόνο έως και 40.000 χρόνια και μας λένε: Υπάρχουν και κάτι άλλα εργαλεία, άυλα σε αυτή την περίπτωση, που βοήθησαν να ζούμε όπως ζούμε τώρα. Το όνομά τους είναι αριθμοί. Και ένα «σώμα γνώσεων» που αποτελείται από αριθμούς και οδηγίες χρήσης παραδίδεται από μια γενεά στην επόμενη. Αρα στην ερώτηση «Τι θα μπορούσε να συμβεί αν σε μια χώρα ή και σε μια ολόκληρη ήπειρο αποφάσιζαν για τα επόμενα 15 χρόνια να μη διδάσκονται Μαθηματικά ή Αριθμητική στα σχολεία κ.λπ.» θα καταλαβαίναμε πρώτα από όλα ότι εκεί θα πάθαιναν ό,τι και οι Εσκιμώοι της Γροιλανδίας.

Δεν θα υπήρχαν μετά οι κατάλληλοι άνθρωποι να τους παραδοθούν οι… σκληροί δίσκοι με ένα σωρό απαραίτητες γνώσεις και βέβαια θα χάνονταν σιγά-σιγά και αυτοί που θα μπορούσαν να τις ανανεώσουν.

Εχουμε αρχίσει να φροντίζουμε στα σχολεία να βγαίνουν από εκεί άνθρωποι που θα έχουν μια θετική άποψη για τα παλιά μνημεία, την κλασική και την ντόπια μουσική, το θέατρο. Ομως από το ίδιο σχολείο βγαίνουν και παιδιά που δεν έχουν την ίδια καλή διάθεση για τους απλούς αριθμούς αλλά και για τις πιο αφηρημένες έννοιες που προκύπτουν με τη δική τους βοήθεια. Για την Αριθμητική λοιπόν και τα Μαθηματικά ο λόγος, που κάποιοι τελειώνοντας το σχολείο όχι μόνο δεν τα θεωρούν απαραίτητα για τη ζωή τους, αλλά τα μισούν κιόλας.

Πρόκειται για μια απλή – και σε κάποια σημεία της νεκρή – κληρονομιά, παλιό απόσταγμα γνώσεων, αρχαιολογικό εύρημα, μεσαιωνική βιβλιοθήκη, νεότερο πύργο λογικής και τελικά σκληρό δίσκο τεράστιας χωρητικότητας σε πληροφορίες; Ακόμη και σε τίποτα από τα παραπάνω να μη συναινεί κάποιος, θα ήταν θετικό η συναναστροφή με τους αριθμούς και τα Μαθηματικά γενικότερα να μη θεωρείται κάτι που θέλουμε να αποφύγουμε όσο γίνεται περισσότερο, είτε βρισκόμαστε ακόμη στο σχολείο είτε εκτός. Εκτός, ακόμη περισσότερο. Και να παίρνεις και «λάικ» ομολογώντας δημόσια, υπερήφανα, επιδεικτικά πως δεν θυμάσαι πλέον και πολλά.

Το βασανιστήριο των εξετάσεων

Στις χώρες όπου τα αποτελέσματα των εξετάσεων σε τάξεις της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης δίνουν πόντους σε όποιους διδάσκουν τους αντίστοιχους μαθητές (ή αφαιρούν πόντους από τους διδάσκοντες αν δεν γράψουν καλά οι μαθητές τους) έχουν αρχίσει να ανησυχούν. Γίνονται μεγάλες προσπάθειες και κάθε είδους πριμοδοτήσεις ώστε οι μαθητές και οι μαθήτριες να ακολουθήσουν τις λεγόμενες σπουδές STEM (Science, Technology, Engineering, Mathematics), όπου η βάση όλων βέβαια είναι η Αριθμητική και στη συνέχεια τα Μαθηματικά. Εχουν φτάσει να προτείνουν η αξιολόγηση των εκπαιδευτικών να μη γίνεται με βάση τις σωστές απαντήσεις των μικρών μαθητών, αλλά το πόσοι θα διαλέγουν στη συνέχεια μαθήματα και κατευθύνσεις που θα θέλουν αριθμητικές δεξιότητες.

Κάτι που επίσης θα ενίσχυε αυτό το πνεύμα της ατομικής προσφοράς στις ανάγκες και στην επιβίωση της κοινότητας για καλύτερη εξοικείωση με τους αριθμούς και τους υπολογισμούς θα ήταν να προσφέρονται τα μέλη της, μερικά χρόνια μετά, να περάσουν ξανά κάποιες εικονικές εξετάσεις. Για να διαπιστώσουν οι ειδικοί και οι ερευνητές τι μένει και τι δεν μένει από τα δώδεκα χρόνια της όποιας τριβής με τους αριθμούς και τα μαθηματικά σύμβολα. Εξετάσεις με νόημα και όχι εξετάσεις για δάκρυα.

Και στις Πανελλαδικές, που μόλις τελείωσαν, έγινε θόρυβος πολύς διότι θεωρήθηκε πως οι ασκήσεις στη Φυσική και στη Χημεία είχαν πολλή δουλειά στο κομμάτι των μαθηματικών πράξεων που έπρεπε να γίνουν. Και η συζήτηση βούλιαξε εκεί, στις λίγες ή στις πολλές πράξεις. Αυτούς όμως που ασχολούνται πιο βαθιά με το πώς θα μεταλαμπαδεύεται η απαραίτητη για την επιβίωσή μας μαθηματική γνώση άλλα προβλήματα τους απασχολούν. Προβληματίζονται για το αν θα πρέπει πλέον να καταργηθεί η αποστήθιση όχι μόνο της προπαίδειας αλλά και όποιας άλλης διαδικασίας μπορεί να δίνει τα αποτελέσματά της μέσα από ένα (κατά προτίμηση) φορητό ηλεκτρονικό μηχάνημα. Και οι μαθητές/μαθήτριες να έχουν πλέον χρόνο και χώρο στο μυαλό τους για περισσότερο προχωρημένες ιδέες και σχέδια. Αλλοι πάλι προτείνουν δύο χωριστές εξετάσεις. Η μία γίνεται με τα μηχανάκια, ίσως και με τα βιβλία, και η άλλη χωρίς οποιοδήποτε βοήθημα. Και αυτά όμως πιο πολύ στο μηχανικό πηγαίνουν και στοχεύουν στην απόδειξη των γνώσεων. Το πρόβλημα όμως είναι με πόση διάθεση αποκτήθηκαν αυτές οι γνώσεις και αν ο κάτοχός τους νιώθει ότι του έχουν εμπιστευτεί ένα πολύτιμο φως που πρέπει να το πάει πιο κάτω χωρίς να του σβήσει.

Οσο είμαστε ακόμη νέοι…

Σε ένα Σύμπαν που είναι 13,7 δισεκατομμυρίων ετών, ο πλανήτης Γη από τη δημιουργία του έως τώρα έχει ηλικία 4,5 δισεκατομμυρίων ετών και οι σύγχρονοι άνθρωποι ζουν επάνω του εδώ και 100.000 έτη. Και έτσι βγαίνει πως οι άνθρωποι έχουν έως τώρα ζήσει 1 χρόνο για κάθε 130.000 χρόνια ζωής του Σύμπαντος. Δηλαδή δεν είναι υπερβολή να αναρωτηθείς από τη μια πλευρά πόσο καινούργιοι είμαστε εδώ επάνω! Και από την άλλη, σε τόσο λίγο χρόνο πόσα πολλά προλάβαμε να κάνουμε επάνω σε αυτόν τον πλανήτη. Θετικά και αρνητικά.

Η επόμενη σκέψη που έρχεται φυσιολογικά είναι: Τι μας βοήθησε όχι μόνο να επικρατήσουμε, αλλά και να διαμορφώσουμε σχεδόν τα πάντα στα μέτρα μας; Μέχρι την είσοδο στην παλαιολιθική εποχή, περίπου 3,3 εκατομμύρια χρόνια πριν, όλα άλλαζαν – αλλά αργά και δύσκολα. Το ίδιο αργά με όλα τα άλλα παράλληλα εξελισσόμενα είδη. Πριν από 100.000 χρόνια φάνηκε να επικρατεί τελικά πανρού ο Homo Sapiens, ο οποίος ζούσε ακόμη στην Αφρική. Μακροχρόνιες ξηρασίες στην ήπειρο αυτή ανάγκασαν τους ανθρώπους της εποχής να μετακινηθούν πρώτα προς τα ανατολικά της παράλια. Και από εκεί, περνώντας τα στενά του Μπαμπ αλ Μαντάμπ, στα νότια της Ερυθράς Θάλασσας, ακολούθησαν πορεία προς τα βόρεια – και άρχισε η έξοδος από την Αφρική.

Πριν από 14.000 χρόνια είχαν πια κατακτήσει τον κόσμο φτάνοντας έως το άκρο της Νότιας Αμερικής. Σήμερα θεωρείται πως η μεγάλη επιτυχία του είδους ήταν η ικανότητα για συνεργασία των μελών του μεταξύ τους. Κοιτάξτε τα πολύ μικρά παιδιά, που ακόμη είναι ανεπιτήδευτα, πόσο θέλουν να παίζουν, δηλαδή να συνεργάζονται με τους άλλους. Και αυτή η έντονη διάθεση για συνεργασία με σκοπό την επιβίωση βοήθησε το είδος να περάσει από τη συνεννόηση με χειρονομίες και κραυγές στην ανάπτυξη γλωσσικής επικοινωνίας. Οι λέξεις έγιναν οι αγωγοί για την έκφραση των ιδεών και άρχισε να δημιουργείται μια κοινή βάση δεδομένων από όπου μπορούσαν να «σερβίρονται» σχεδόν όλοι χωρίς να αρχίζουν πάντα όλα από την αρχή. Ενα, λοιπόν, από τα πλέον αποφασιστικά υποσύνολα αυτών των δεδομένων ήταν οι αριθμοί. Τα ευρήματα με τις χαραγματιές σε κανονικά διαστήματα επάνω σε κόκαλα ζώων έδειξαν ότι με τη βοήθειά τους ο άνθρωπος ξεπέρασε τον αριθμό 3. Δηλαδή τα τρία αντικείμενα των οποίων το πλήθος πιάνει με το μάτι χωρίς να σκεφθεί καν. Αρχισε να μετράει τον χρόνο και τις εποχές. Κατάφερε με τους αριθμούς να τιθασεύσει τις ποσότητες. Οταν εγκαταστάθηκε σε  πεδιάδες ή δίπλα σε ποτάμια, η αυξημένη παραγωγή χρειαζόταν να μπει σε αριθμούς. Στη φύση υπήρχαν οι ποσότητες. Από τα 8 πλοκάμια του χταποδιού μέχρι τις ημέρες του σεληνιακού μήνα. Ο άνθρωπος όμως ξεχώρισε τις ποσότητες με τους αριθμούς. Λαοί με αυξημένη παραγωγή ένιωσαν την ανάγκη για προχωρημένη και τελικά παγκοσμιοποιημένη αρίθμηση (πλην των Αγγλων φυσικά). Οσοι ακόμη βρίσκονται μέσα στα δάση του Αμαζονίου έχουν δικά τους, πιο περιορισμένα αριθμητικά συστήματα.

Μέσα στους λαούς που ξεχώρισαν σε διάφορες εποχές στην Αριθμητική και μετά στα Μαθηματικά, Αιγυπτίους, Βαβυλώνιους, Κινέζους, Μάγιας, είναι και οι Ελληνες. Που βασανίστηκαν πολύ με τα κλάσματα, τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς γιατί δεν ήθελαν να προχωρήσουν στη μορφή των δεκαδικών.

Στα οκτώ παιδιά μοιράζεις εύκολα επτά πεπόνια αν τα κόψεις πρώτα στη μέση και πάρουν πρώτα από ένα μισό. Τα περισσευούμενα έξι μισά τα κόβεις σε τέταρτα, τους δίνεις από ένα και ό,τι έμεινε το κόβεις σε όγδοα και τελείωσες. Η περίπτωση με τα τρία παιδιά και τα έντεκα πεπόνια ήταν το δύσκολο, που δεν βγαίνουν ακριβώς τα κομμάτια ποτέ. Και κόβεις μέχρι να μην πιάνει το μαχαίρι. Δηλαδή η περίπτωση των άρρητων αριθμών. Στα σχολεία μας λοιπόν τα Μαθηματικά σήμερα πρέπει να προσφέρονται ως αντίδωρο «με πολλές θερμίδες», εφόδιο για την ύπαρξη αυτών που θα συνεχίσουν ύστερα από εμάς και όχι ως ένα ακόμη όργανο βασανισμού.

Μαθηματική κουλτούρα

«Τον μακρύ δρόμο από τις εμπειρικές μαθηματικές γνώσεις των αρχαίων λαών έως τη θεωρητική-αξιωματική θεμελίωσή τους από τους αρχαίους έλληνες μαθηματικούς και τις νεότερες ανακαλύψεις κατά τους τελευταίους αιώνες παρουσιάζει αυτό το βιβλίο». Μέχρις εδώ να συμφωνήσω κάπως με τους εκδότες του βιβλίου αυτού. Θα διαφωνήσω όμως όταν λίγο πιο κάτω αναφέρεται πως «…το βιβλίο απευθύνεται σε φοιτητές και αποφοίτους των πανεπιστημιακών σχολών των θετικών επιστημών, των πολυτεχνείων και των ΤΕΙ».

Εννοώ πως μάλλον κακό στον εαυτό του κάνει ο εκδότης όταν περιορίζει έτσι το δυνάμει αναγνωστικό κοινό ενός τέτοιου βιβλίου. Αφού και οι συγγραφείς γράφουν στην αρχή ότι το κείμενο βασίζεται στις παραδόσεις τους για μάθημα στους πρωτοετείς φοιτητές ενός Πανεπιστημίου, άρα δεν πρόκειται για κάτι εντελώς απρόσιτο και στον απόφοιτο ενός Λυκείου εδώ. Ναι, εμφανίζονται σε κάποιες σελίδες και τα σύμβολα των ορίων και των παραγώγων αλλά τίποτα από αυτά δεν μπαίνει χωρίς να ορίζεται και χωρίς να εξηγείται με κάποιον τρόπο.

Δηλαδή θα έλεγες πως η εκτεταμένη ύλη που υπάρχει στο βιβλίο είναι αυτάρκης. Υπομονή χρειάζεται από την πλευρά του αναγνώστη και στρατηγική ώστε να ξεκινήσει με τα πλέον προσιτά σε εκείνον κεφάλαια και να προχωρήσει ανάλογα με την αντοχή του στα υπόλοιπα. Σε δώδεκα κεφάλαια οι συγγραφείς έχουν μοιράσει τεράστια και πολυποίκιλη ύλη.

Μαθηματικά στην Αρχαιότητα, Η εφηβική ηλικία του υπολογισμού, Η απαρχή της γεωμετρικής ανάλυσης, είναι τα τρία βασικά τμήματα του βιβλίου. Τα πιο προσιτά κεφάλαια βρίσκονται στο δεύτερο τμήμα, όπου έχουμε Ναυσιπλοΐα, Χαρτογραφία, Επινόηση των λογαρίθμων. Εκεί επιβεβαιώνεται σε πρώτη δόση ο τίτλος του βιβλίου «Τα μαθηματικά στον πολιτισμό».

Μετά, μπορεί ο αναγνώστης να γυρίσει στο δεύτερο και στο τρίτο κεφάλαιο, δηλαδή στην Αιγυπτιακή Αριθμητική και στη Βαβυλωνιακή Αλγεβρα. Τι όφελος θα έχει διαβάζοντας κάτι τέτοιο; Λίγο ωμά και απότομα θα έλεγα σαφώς περισσότερο από ένα αστυνομικό μυθιστόρημα. Αλλά πιο τεκμηριωμένα είναι το ότι φθάνεις στις αρχές της σκέψης πρώτα με αριθμούς, κυρίως στην περίπτωση των Αιγυπτίων, και μετά και σε κάτι που θυμίζει Αλγεβρα αφού σε πινακίδα (ΑΟ 8862) υπάρχει (με τη σημειολογία της εποχής τότε) το πρόβλημα: χψ + χ – ψ = 183 και χ + ψ = 27.

Ζητούνται τα χ και ψ. Και όταν ακολουθήσεις τον τρόπο συλλογισμού τους φθάνεις απροσδόκητα σε εκείνον τον τύπο που ήξερες μηχανικά και απ’ έξω και τώρα ίσως δεν (θέλεις να) θυμάσαι και τόσο καλά. Με τη γνωστή μας Διακρίνουσα και τα υπόλοιπα εργαλεία.

Στο τελευταίο μέρος, όποιος δεν είναι εξοικειωμένος με όρια, διαφορικά, παραγώγους, έχει την ευκαιρία του για μια καλή πρώτη επαφή με τον λεγόμενο απειροστικό λογισμό, το πανίσχυρο εργαλείο που οφείλουμε στον Νεύτωνα και στον Λάιμπνιτζ.

Στο υλικό του βιβλίου συμπεριλαμβάνονται κάποιες αρκετά ενδιαφέρουσες ασκήσεις στο τέλος κάθε κεφαλαίου, υπάρχουν απαντήσεις στο τέλος, πίνακες και ένα πολύ λεπτομερές ευρετήριο λέξεων. Πολύ καλή σελιδοποίηση και χαρτί, όλα αυτά στα θετικά του βιβλίου. Στα αρνητικά μόνον τα απροσδόκητα πολλά λάθη, τυπογραφικά, ορθογραφικά, αλλά και αριθμητικά. Απροσδόκητα διότι αναφέρονται τρεις επιμελητές έκδοσης γι’ αυτό.

Η αλήθεια όμως είναι πως πολύ εύκολα ο αναγνώστης βλέπει ποιο είναι το σωστό και προχωρεί απρόσκοπτα στην ανάγνωση ενός πολύ ωφέλιμου βιβλίου. Που δεν αποκλείω να κοπεί σε πολύ μικρές αλλά ωφέλιμες «μπουκιές», και να κρατήσει ίσως και ένα ολόκληρο καλοκαίρι!