Από το Μηδέν και λίγο παραπάνω…

– Πόσα πρόβατα βλέπεις εκεί κάτω; – Τρία. – Μα, το ένα είναι αρνί, μήπως πρέπει να πούμε πως είναι μόνον δύο; – Και το ένα που είναι θηλυκό και είναι έγκυος; – Να λέγαμε πως είναι δυόμισι, ή μήπως είναι τελικά τρία και μισό; Μπα, πώς συνέβη αυτό; Δεν είναι οι αριθμοί ένα ακόμη θαυμαστό προϊόν της μαθηματικής σκέψης; Και ταυτόχρονα ένα τρομερό εργαλείο, που οργανώνει τα δεδομένα μας αλάνθαστα και μονοσήμαντα ώστε να προκύπτουν από αυτά οι πληροφορίες; Ο Γαλιλαίος είπε ότι «οι νόμοι της Φύσης είναι γραμμένοι στη γλώσσα των Μαθηματικών». Πόσο εξοικειωμένοι όμως είμαστε με αυτή τη γλώσσα; Προφανώς όλοι οι άνθρωποι δεν την καταλαβαίνουν και δεν τη μιλούν με άνεση, αν και πρόκειται για άλλη μια γλώσσα, που διδάσκεται και αυτή στο σχολείο. Από την πρώτη τάξη του Δημοτικού μάλιστα, με όλα τα συν και τα πλην (κυριολεκτικά και μεταφορικά). Ο διάσημος ρώσος μαθηματικός Εντουαρντ Φρένκελ δίνει τη δική του εξήγηση για το ότι ολόκληρο αυτό το σύμπαν των Μαθηματικών παραμένει για κάποιους ανθρώπους παράλληλο και κρυμμένο: «Αν στο σχολείο, στο μάθημα της ζωγραφικής σάς μάθαιναν μόνον το πώς μπογιατίζουμε έναν ξύλινο φράχτη και δεν σας έδειχναν ποτέ έναν πίνακα του Ντα Βίντσι ή του Βαν Γκογκ, θα είχατε τη δυνατότητα να εκτιμήσετε την αξία της ζωγραφικής; Θα θέλατε να μάθετε περισσότερα για αυτήν; Αμφιβάλλω. Μάλλον θα λέγατε (στη συνέχεια) ότι το μάθημα της ζωγραφικής ήταν χάσιμο χρόνου. Και αν ποτέ χρειαστώ να βάψω έναν φράχτη, θα πληρώσω για να το κάνουν για λογαριασμό μου. Ακούγεται γελοίο, αλλά έτσι είναι (και) η διδασκαλία των Μαθηματικών…». Υλη για μια ζωή Η άποψη αυτή του Φρένκελ αδικεί βέβαια όλους τους καλούς δασκάλους που ίδρωσαν να μας εξοικειώσουν (τουλάχιστον) με το μαθηματικό σύμπαν και η απόδειξη είναι πως υπάρχουν τόσοι καλοί μαθηματικοί και στη χώρα και στον υπόλοιπο κόσμο. Σε γενικές γραμμές όμως μπορεί να έχει σοβαρά παράπονα κάποιος που τέλειωσε με το σχολείο. Αυτό που λέμε «ύλη των μαθηματικών» και απλώνεται σε δώδεκα ολόκληρα χρόνια εκπαίδευσης δεν μετουσιώνεται πάντα και για όλους σε ένα χρήσιμο εργαλείο για την υπόλοιπη ζωή τους. Και πολύ περισσότερο δεν γίνεται και πηγή διασκέδασης. Συν το ότι για κάποια πράγματα συνειδητοποιείς μετά ότι προσπάθησαν να σου τα περάσουν με έναν άχαρο τρόπο, χωρίς φαντασία και ανεξήγητα (κυρίως αυτό). Ας πάρουμε για παράδειγμα εκείνο το «πλην επί πλην κάνει συν». Γιατί; Είναι μήπως κάποιο έθιμο που… έτσι το βρήκαμε από τους παλιούς; Υπάρχουν αποδείξεις γι’ αυτό; Προφανώς και υπάρχουν (περισσότερες από μία). Πόσοι και πόσες το έχουν ως καλά αφομοιωμένη γνώση; Το σχολείο δεν θα έπρεπε να φέρνει τον μαθητή τουλάχιστον στο σημείο να ρωτήσει κάποια στιγμή: Γιατί αυτό να είναι έτσι; Με κάποια «γιατί», που θα έπρεπε να είχαν διατυπωθεί πιο νωρίς είναι η αλήθεια, σκοπεύουμε να ασχοληθούμε εδώ. Λίγη θεωρία, πρακτικές εφαρμογές για την καθημερινή ζωή, κουίζ και διασκέδαση γύρω από τα Μαθηματικά θέλουμε να περιέχονται στα κείμενα αυτής της σειράς που αρχίζει από σήμερα, όταν και για τους αναγνώστες του ΒΗΜΑScience η ζωή έχει γίνει αρκετά πιο δύσκολη, χωρίς να έχει πάψει να είναι ενδιαφέρουσα. Ο πρώτος άβακας Δεν ξέρω τι έχει συμβεί με άλλους ανθρώπους σε αυτή τη χώρα, που τελείωσαν και εκείνοι Δημοτικό – Γυμνάσιο – Λύκειο κάποια στιγμή, αλλά εγώ αρκετά μετά συνειδητοποίησα ότι δεν μου είχε τονιστεί όσο θα άξιζε μια τεράστια ανακάλυψη του ανθρώπινου μυαλού. Εμαθα ξαφνικά να χειρίζομαι και το μηδέν από κάποια σχολική στιγμή και μετά, σχεδόν ασυνείδητα, σαν να ήταν απλά ένα εργαλείο. Λες και είχε προκύψει μαζί με τον υπόλοιπο υλικό κόσμο από την πρώτη στιγμή του μπιγκ-μπανγκ. Ομως δεν έγιναν έτσι τα πράγματα. Το να συνδέουμε ένα σύνολο αντικειμένων ή ζωντανών οργανισμών με ένα σύμβολο το επέβαλαν οι ανάγκες της καθημερινής ζωής. Επρεπε να κρατηθεί λογαριασμός για κοπάδια, σοδειές, άλογα, στρατιώτες, ακόμη και δούλους (δυστυχώς). Κάποια στιγμή δεν έφθαναν τα δέκα δάχτυλα των χεριών, ούτε και τα δέκα των ποδιών. Αναφέρεται κάτι πολύ ενδιαφέρον που βρέθηκε ότι γινόταν πολύ παλιά φυσικά στη Μαδαγασκάρη. Για να μετρήσουν τους στρατιώτες τούς υποχρέωναν να περνούν ένας-ένας από κάποιο πολύ στενό μονοπάτι και για τον καθένα προσέθεταν ένα βότσαλο σε κάποιο σημείο. Οταν συμπληρωνόταν ο ίδιος πάντα αριθμός στρατιωτών που είχαν περάσει από το μονοπάτι έβαζαν ένα βότσαλο σε έναν άλλο διπλανό σωρό. Και έτσι στο τέλος μπορούσαν να βρουν λογαριασμό για τον αριθμό των στρατιωτών. Αυτό βέβαια υλοποιήθηκε στη συνέχεια με τον άβακα, ένα αριθμητήριο που επέτρεπε να γίνονται γρήγορα οι απαραίτητοι υπολογισμοί στο εμπόριο των προϊόντων. Ομως για τα συστήματα αρίθμησης, από τον καιρό της σφηνοειδούς γραφής ακόμη, διαπιστώθηκε ότι αυτό που τους έλειπε ήταν, παραδόξως, ένα σύμβολο για το «κενό». Μια σπουδαία «εφεύρεση» Τη διαφορά ανάμεσα στους αριθμούς 32 και 302 την έκαναν ορατή αφήνοντας έναν κενό χώρο ανάμεσα στο 3 και το 2, για έναν αριθμό όπως ο 302. Αλλά πώς ξεχώριζαν τη διαφορά ανάμεσα στο 49 και στο 490; Οταν λοιπόν δημιουργήθηκε, δεν ξέρουμε ακριβώς πότε, για καθαρά πρακτικούς σκοπούς ένα ξεχωριστό σύμβολο για αυτή την κενή θέση από κάποιον ινδουιστή κάτοικο της περιοχής που σήμερα είναι μοιρασμένη σε Ινδία, Πακιστάν, Μπανγκλαντές, η ώθηση που πήραν όχι μόνον οι μέθοδοι υπολογισμών για τις εμπορικές συναλλαγές αλλά και τα Μαθηματικά ήταν σχεδόν ασύλληπτη. Το σύμβολο ονομαζόταν σούνγιατα (sunyata) και σήμαινε το «άδειο», όχι το κενό. Τον 10ο αιώνα μ.Χ. παίρνοντας οι Αραβες από τους Ινδούς τα σύμβολα για τους αριθμούς από το 0 έως το 9 ονόμασαν το μηδέν στη γλώσσα τους «σιφ(ι)ρ» (sifr), που και εκεί σήμαινε το άδειο. Αυτό περνώντας στα Λατινικά έγινε zephirum για να καταλήξει στο ιταλικό «τζέρο» (zero). Και ξεκίνησε το μηδέν την ευρωπαϊκή καριέρα του από την Ιταλία διότι το πέρασε στη γηραιά ήπειρο από την Αλγερία, όπου είχε μεγαλώσει, ο γιος ενός τελωνειακού υπαλλήλου από την Πίζα, ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι (figlio di Bonacci, 1170-1250) με τη βοήθεια του διάσημου βιβλίου του Liber Abaci, με έτος έκδοσης το 1202 μ.Χ. Τι κάνεις όταν έχεις ένα μηδέν; Αν είσαι μαθηματικός και αστρονόμος, όπως ο Βραχμαγκούπτα (έζησε περίπου μεταξύ 598 και 668 μ.Χ.), και έχεις βέβαια μελετήσει τις Βέδες (veda στα σανσκριτικά σημαίνει «γνώση»), που είναι ένα σύνολο από ύμνους, επικλήσεις σε μια ανώτερη δύναμη και διαδικασίες για θρησκευτικές τελετές, είσαι γνώστης και των πολλών μαθηματικών στοιχείων των αναμεμειγμένων κατά έναν ιδιόρρυθμο τρόπο με τα στοιχεία για τη θρησκεία. Αλλωστε για αρκετούς αιώνες της ανθρώπινης ιστορίας, τα Μαθηματικά ήταν αντικείμενο ζωηρού ενδιαφέροντος και κάποτε αποκλειστικό κτήμα του ιερατείου, σε διάφορους πολιτισμούς. Στον Βραχμαγκούπτα λοιπόν αποδίδεται η γνωστοποίηση στον υπόλοιπο κόσμο, κατά τη διάρκεια του 7ου μ.Χ. αιώνα, το πώς είχαν καταλήξει οι ινδοί μαθηματικοί ότι θα πρέπει να συμπεριφέρεται το μηδενικό στοιχείο (=shuniata). Παραθέτουμε την (κάπως ιδιόρρυθμη) διατύπωση της εποχής εκείνης (όπου «χρέος» θα καταλαβαίνουμε «αρνητικός αριθμός» και όπου «περιουσία» θετικός αριθμός) και δίπλα το πώς αυτή μεταφράζεται στη σημερινή αλγεβρική σημειολογία για να γίνει κατανοητό πόσο καλά θεμελιωμένη ήταν η σχετική με το 0 γνώση από την εποχή εκείνη: l Χρέος μείον σούνιατα κάνει χρέος —–> -α – 0 = -α l Περιουσία μείον σούνιατα κάνει περιουσία —–> α – 0 = α l Σούνιατα μείον σούνιατα κάνει σούνιατα —–> 0 – 0 = 0 l Χρέος που αφαιρείται από το μηδέν κάνει περιουσία ——> 0 – (-α) = α l Περιουσία που αφαιρείται από το μηδέν κάνει χρέος ——> 0 – α = -α l Το γινόμενο σούνιατα επί σούνιατα δίνει σούνια —–> 0 Χ 0 = 0 Με τα παραπάνω ένα τεράστιο βήμα είχε γίνει στα Μαθηματικά. Είχε ανοίξει ο δρόμος για την «εφεύρεση» των αρνητικών αριθμών και των δεκαδικών κλασμάτων. Ομως ο αρχικά παράξενος αυτός επισκέπτης, που είχε καταφέρει να εγκατασταθεί πλέον χωρίς κόμπλεξ δίπλα στους άλλους φυσικούς αριθμούς, συνέχισε να είναι ο πονοκέφαλος όσων ασχολήθηκαν σοβαρά με τα Μαθηματικά. Διότι εκεί, σε μία από τις γνωστές τέσσερεις πράξεις της Αριθμητικής, στη διαίρεση, επί αιώνες συμπεριφερόταν σαν να ήταν το ενοχλητικό χαλίκι που δεν λέει να βγει από το παπούτσι του οδοιπόρου. Γι’ αυτό στο επόμενο θα ασχοληθούμε με την περιβόητη διαίρεση με το μηδέν. Από τα σημερινά ας κρατήσουμε τουλάχιστον τα εξής: l Οι αριθμοί ξεκίνησαν ως εργαλεία για την καταμέτρηση και για λογαριασμούς. l Στη συνέχεια και με κάποια αυστηροποίηση στον τρόπο ορισμού τους συμβόλισαν και το πλήθος των μελών μιας οποιασδήποτε συλλογής στοιχείων, δηλαδή ενός συνόλου. l Το μηδέν ήλθε να επεκτείνει αυτή την αφαίρεση αυξάνοντας και τη δική του ισχύ. Επρεπε πλέον να υπολογίζεται ιδιαίτερα, όπως φάνηκε με τις επτά αξιωματικά διατυπωμένες εκφράσεις από τον 7ο μ.Χ. αιώνα. l Είναι μεγάλη κατάκτηση η γραφή των αριθμών, όπως γίνεται σήμερα, όπου παρατίθενται δίπλα-δίπλα οι μονάδες, οι δεκάδες, οι χιλιάδες κ.λπ. Και κυρίως όπου απουσιάζει κάποια από αυτές, να υπάρχει ένα σύμβολο, δηλαδή εδώ το μηδέν, που να υποδεικνύει την απουσία αυτήν. Πνευματική… γυμναστική Κάθε Κυριακή, στο τέλος, θα δίδεται η δυνατότητα στους αναγνώστες και για λίγη πνευματική γυμναστική: 1 Αφού πρωταγωνιστές ήταν σήμερα το μηδέν και οι «άδειες θέσεις» που συμπληρώνονται με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο με το σύμβολο αυτό, ας δούμε έναν αριθμό με πολλά τέτοια μηδενικά. Ας πάρουμε τον 1.000.000.000, δηλαδή το ένα δισεκατομμύριο. Γίνεται αυτό το δισεκατομμύριο να το εκφράσουμε με κάποιον διαφορετικό τρόπο, αλλά πάλι με συνδυασμό αριθμών, έτσι ώστε πουθενά να μη βλέπουμε έστω και ένα μηδενικό αλλά τελικά η παράσταση αυτή να μας δίνει και πάλι το ένα δισεκατομμύριο; 2 Σε μια πασχαλινή παράσταση του παρελθόντος, μπροστά σε κοινό, ο «μάγος» δείχνει δύο μεγάλα καπέλα. Στο καθένα από αυτά βρίσκονται τοποθετημένα 12 αβγά, 4 μπλε, 4 κόκκινα, 4 κίτρινα. Κάποιος από το κοινό προσφέρεται να του δέσουν τα μάτια και παίρνει την εντολή να μεταφέρει 5 αβγά από το ένα καπέλο στο άλλο. Και ο μάγος ρωτάει αυτούς που παρακολουθούν: Τώρα πόσα αβγά πρέπει να πάρει αυτός που είναι με τα μάτια δεμένα, από το δεύτερο καπέλο και να τα πάει πίσω στο πρώτο, ώστε εκεί να έχουμε στα σίγουρα τουλάχιστον από 3 αβγά κάθε χρώματος; 3Ο γνωστός εικαστικός καλλιτέχνης Ντάμιεν Χιρστ έχει φιλοτεχνήσει και μια σειρά από πίνακες με χαρακτηριστικό τους ότι αποτελούνται από ένα πλήθος από έγχρωμες κουκκίδες. Λέγεται ότι πηγή έμπνευσής του είναι τα Μαθηματικά. Αν υποθέσουμε λοιπόν ότι ξεκινά (συνήθως οι βοηθοί του το κάνουν αυτό) έναν από αυτούς τους πίνακες ζωγραφίζοντας στην πρώτη στήλη αριστερά 3 κουκκίδες, στην επόμενη 4 κουκκίδες, στην τρίτη 6 και προχωρώντας έτσι να σχηματίζεται η ακολουθία αριθμών 3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20… πόσες κουκκίδες θα πρέπει να ζωγραφιστούν στη στήλη που ακολουθεί αμέσως μετά από αυτήν με τις 20 κουκκίδες; Απαντήσεις την επόμενη εβδομάδα

Από το Μηδέν και λίγο παραπάνω…

Περιεχόμενο για συνδρομητές

Τελευταίες Ειδήσεις

Σκάνδαλο με «οσμή» Μόσχας: Η κόρη του πρώην προέδρου έστελνε Νοτιοαφρικανούς στον πόλεμο

Μητσοτάκης σε αγρότες: Ανοιχτός σε διάλογο, ελάτε με σαφή αιτήματα

Πορεία Γρηγορόπουλου στην Αθήνα – Ποιοι δρόμοι είναι κλειστοί [εικόνες]

Οι πιο γνωστοί χαμένοι πίνακες της ιστορίας

Η μεταλλουργία των αρχαίων στον αξονικό τομογράφο

Πώς αποτιμάται το ιατρικό ακαδημαϊκό έργο;

Χρόνια πολλά, Mathesis!

Το μυστήριο του εγκεφάλου λύθηκε - Ο νέος άτλας που ανατρέπει τα πάντα

Η Γη της ελιάς: Τι θα δούμε στα επόμενα επεισόδια - Κυριακή 7 με Πέμπτη 11/12

Καλώδιο Ελλάδας - Κύπρου: Ανατροπή από τις Βρυξέλλες

«Orthobros»- Γιατί ο νέοι Αμερικανοί στρέφονται στην Ορθοδοξία;

ΕΦΕΤ: Ανακαλεί σοκολάτες kinder - Ο λόγος

Αγροτικά μπλόκα: Ποιοι δρόμοι είναι κλειστοί σε όλη τη χώρα

Οι πιο εύκολοι και αφράτοι κουραμπιέδες από την Αργυρώ Μπαρμπαρίγου - Grace

Ρεάλ Μαδρίτης-Μάντσεστερ Σίτι: Το κορυφαίο ευρωπαϊκό ντέρμπι ζωντανά στο MEGA

Ερχονται οι Αμερικάνοι;

Στην αρχή έφυγε ο μπιντές, μετά η μπανιέρα, το τραπέζι της κουζίνας και τώρα το living room - Grace

250.000 για σίτιση σε μια άδεια Φοιτητική Εστία

Οι μπίζνες του Ντε Νίρο στην Καραϊβική - Το πολυτελές resort και ο σεφ Νοbu

Τι συμβαίνει στο 24ωρο ενός ελαφιού και μίας αγελάδας;

Αλκηστις Πρωτοψάλτη: «Αληθινός πλούτος δεν είναι να προσθέτεις, αλλά να μάθεις να αφαιρείς»

Νίκη Παπαθεοχάρη: «Η τέχνη δεν είναι πολυτέλεια»

Ειδήσεις

Γνώμες

Νέες Εποχές

ΒΗΜΑgazino

Έντυπη Έκδοση

English Version