Προβλήματα με παραγοντικά και αριθμούς mystical

Του Αλκη Γαλδαδά algaldadas@yahoo.gr Ας δούμε ένα από τα προβλήματα της προηγούμενης Κυριακής και κάποια χρήσιμα συμπεράσματα που προκύπτουν κατά τη διάρκεια της λύσης. Ζητούσαμε όλους τους θετικούς αριθμούς ν, που το άθροισμά τους 1!+2!+3!+4!+…+ν! είναι τέλειο τετράγωνο. Στην συνέχεια και κάτι ακόμη: Τους θετικούς ακεραίους ν που κάνουν το άθροισμα (ν! + 2023) τέλειο τετράγωνο. Αρχίζουμε όμως από τα «εύκολα», δηλαδή από το ότι 1! = 1 που είναι και ένα τέλειο τετράγωνο (1×1 = 1). Για ν = 2 έχουμε 1! + 2! = 1 + 1×2 = 3, που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Για ν = 3 έχουμε το άθροισμα 1! + 2! + 3! = 1+2+6 = 9 που είναι. Για ν = 4 το 1! + 2! + 3! +4! = 33 που δεν είναι. Από το ν = 5 και πέρα συμβαίνει το ν! να τελειώνει πάντα σε 0. Οπότε με την άθροιση και των 1! + 2! + 3! +4! = 33 το άθροισμα θα λήγει πάντα σε 3 οπότε αποκλείεται να είναι τέλειο τετράγωνο (θα έπρεπε να λήγει σε 1, 4 ή 9 ως μια πρώτη προϋπόθεση ενώ και πάλι μπορεί να μη συμβαίνει τελικά κάτι τέτοιο). Αρα η απάντηση είναι: 1 και 3 οι ζητούμενοι αριθμοί. Για το επόμενο ερώτημα παρατηρούμε πως το ν!, για κάθε ν μεγαλύτερο του 1, είναι πάντα άρτιος αριθμός. Οπότε το άθροισμα του ν με τον περιττό 2023 θα δίνει πάντα περιττό αριθμό. Εξετάζουμε πρώτα τι συμβαίνει για ν μεγαλύτερο ή ίσον του 4. Και εκεί να έχουμε υπόψη μας πως το ν! δίνει ως αποτελέσματα αριθμούς διαιρετούς ακριβώς από το 4. Αρα ο ν! + 2023 όταν διαιρείται από τον 4 θα δίνει πάντα υπόλοιπο 3. Υποθέτουμε τώρα πως ο [ν! +2023] είναι τέλειο τετράγωνο, και επειδή καταλήξαμε ήδη πως θα είναι περιττός θα είναι της μορφής: (2κ+1), οπότε ξεκινάμε από τη σχέση: ν!+2023 = (2κ+1)2 που δίνει ν! + 2023 = 4κ2 + 4κ + 1 = 4(κ2 + κ) + 1. Αρα ο (ν! + 2023) όταν διαιρεθεί με βάση την υπόθεση που κάναμε θα πρέπει να δίνει υπόλοιπο 1. Ομως ήδη είχαμε αποδείξει πως θα δίνει υπόλοιπο 3, οπότε είναι άτοπη η υπόθεση πως είναι τέλειο τετράγωνο για ν ίσο ή μεγαλύτερο του 4. Μένουν επομένως προς εξέταση οι περιπτώσεις για ν = 1, 2, 3. ν = 1: τότε ν! + 2023 = 2024 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. ν = 2: τότε ν! + 2023 = 2025 που είναι τέλειο τετράγωνο (452 = 2025). ν = 3: ν! + 2023 = 2029 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Αρα μόνον για ν = 2 είναι τέλειο τετράγωνο ο ν! + 2023.

Προβλήματα με παραγοντικά και αριθμούς mystical

Μία σελίδα γεμάτη με προκλήσεις που θα κρατήσουν σε εγρήγορση μικρούς και μεγάλους λάτρεις της μαθηματικής σκέψης

Περιεχόμενο για συνδρομητές

Τελευταίες Ειδήσεις

Σεισμός τώρα 4,6 Ρίχτερ στα Καλάβρυτα – Σείστηκε η Πελοπόννησος

Δεν καταθέτουν τα όπλα, ανασυντάσσονται κι επεκτείνονται τα οδοφράγματα

Πρωταθλήτρια βροχής στον Byron η Μάνδρα - «Κοκκίνισαν» Καστελόριζο, Θερμαϊκός

Ενήμερος για τις διαπραγματεύσεις, δηλώνει ο Ζελένσκι, αλλά... φτάνει πια με το τηλέφωνο

Η μεταλλουργία των αρχαίων στον αξονικό τομογράφο

Πώς αποτιμάται το ιατρικό ακαδημαϊκό έργο;

Χρόνια πολλά, Mathesis!

Το μυστήριο του εγκεφάλου λύθηκε - Ο νέος άτλας που ανατρέπει τα πάντα

Στην αρχή έφυγε ο μπιντές, μετά η μπανιέρα, το τραπέζι της κουζίνας και τώρα το living room - Grace

Σεισμός τώρα 4,6 Ρίχτερ στα Καλάβρυτα - Σείστηκε η Πελοπόννησος

Η Γη της ελιάς: Τι θα δούμε στα επόμενα επεισόδια - Κυριακή 7 με Πέμπτη 11/12

Ένα χρόνο μετά την πτώση του Άσαντ, η Συρία μπορεί να γίνει «τουρκικό Βιετνάμ»

Άρης σε τρίγωνο με Χείρωνα: Ποια ζώδια γιατρεύουν βαθιές πληγές τους μέσα στις επόμενες ημέρες - Grace

Καλώδιο Ελλάδας - Κύπρου: Ανατροπή από τις Βρυξέλλες

Ελληνικό: Εργατικό δυστύχημα με θύμα 25χρονοι καταγγέλλουν οι εργαζόμενοι

Θα είναι το «Ριφιφί» η καλύτερη σειρά του Σωτήρη Τσαφούλια

Η άγνωστη ιστορία της Minka Kelly: Ο πατέρας της ήταν διάσημος ροκ σταρ και η μητέρα της άστεγη στρίπερ - Grace

Ρεάλ Μαδρίτης-Μάντσεστερ Σίτι: Το κορυφαίο ευρωπαϊκό ντέρμπι ζωντανά στο MEGA

Οι μπίζνες του Ντε Νίρο στην Καραϊβική - Το πολυτελές resort και ο σεφ Νοbu

Τι συμβαίνει στο 24ωρο ενός ελαφιού και μίας αγελάδας;

Αλκηστις Πρωτοψάλτη: «Αληθινός πλούτος δεν είναι να προσθέτεις, αλλά να μάθεις να αφαιρείς»

Νίκη Παπαθεοχάρη: «Η τέχνη δεν είναι πολυτέλεια»

Ειδήσεις

Γνώμες

Νέες Εποχές

ΒΗΜΑgazino

Έντυπη Έκδοση

English Version