Την περασμένη Κυριακή, το πρωί το πέρασα εξετάζοντας τα θέματα που έβαλαν στα παιδιά του Δημοτικού για την εισαγωγή τους στα Πρότυπα Σχολεία. Είχα ένα επιπλέον κίνητρο να τα κοιτάξω προσεκτικά διότι τις προηγούμενες ημέρες οι γονείς ενός γειτονόπουλου, με είχαν παρακαλέσει να κοιτάξω μαζί με τον γιό τους τα παλαιότερα θέματα επειδή θα έδινε αυτές τις εξετάσεις, χωρίς να έχει κάνει φροντιστήριο. Δεν υπήρξε κάποια χρηματική συναλλαγή για τον χρόνο που διέθεσα αν και τώρα, μια εβδομάδα μετά, σκέπτομαι πως θα έπρεπε!
Ναι, θα έπρεπε. Δηλαδή να είχα εγώ πληρώσει τους γονείς για την εμπειρία που μου χάρισαν χωρίς να το φαντάζονται. Είδα και έμαθα τόσα πολλά που όμως μόνον όποιος εμπλακεί για τα καλά σε αυτές τις διαδικασίες μπορεί να το καταλάβει, είτε ως γονέας είτε ως εκπαιδευτικός. Και έτσι μάλλον εξηγείται το ότι αναστάτωση έχει δημιουργηθεί μόνον μεταξύ των γονέων και το θέμα έχει σχεδόν σκεπαστεί.
Οι πρώτες αντιφάσεις αυτών των εισαγωγικών αρχίζουν πριν καν τα παιδιά μπουν στην αίθουσα της εξέτασης. Διαγωνίζονται πριν καν τελειώσει η σχολική χρονιά! Με ποιά λογική γίνεται αυτό; Και πρόκειται για το πρώτο δείγμα πως ό,τι γίνεται στην τάξη μέσα στον χρόνο λίγο ενδιαφέρει αυτούς που θα βάλουν τα θέματα. Επίσης λίγο τους ενδιαφέρει όπως αποδεικνύεται και η ύλη της 6ης Δημοτικού. Διότι δεν υπάρχει σύγκριση των βαθμών δυσκολίας των προβλημάτων του βιβλίου και των προβλημάτων της εξέτασης. Όπως είδα μάλιστα σε κάποιο ιστότοπο που ασχολείται με εκπαιδευτικά θέματα κάποιος καθηγητής της Μέσης, χωρίς να επικρίνει αυτές τις εξετάσεις το έθεσε πολύ κυνικά: «Να πάρουν απόφαση οι γονείς», έγραφε, « ότι αυτές οι εξετάσεις χρειάζονται δυο χρόνια φροντιστήριο». Να μας γίνει δηλαδή αυτό συνείδηση! Βέβαια έτσι οι εξετάσεις ανοίγουν «δουλίτσες». Pas mal.
Από μια ματιά που έριξα στο βιβλίο του παιδιού οι δάσκαλοι δεν είχαν καν προλάβει να ολοκληρώσουν την ύλη που περιελάμβανε. Όλα στρωμένα για τα φροντιστήρια δηλαδή. Μόνον που όπως γράφεται και τα φροντιστήρια υπέστησαν ήττα διότι δεν περίμεναν τέτοια θέματα. Συγκρίνοντας μάλιστα τα θέματα, τα εφετινά, κατά την γνώμη μου ήταν πολύ πολύ δυσκολότερα από των προηγούμενων ετών. Δεν έχω αντίρρηση να μπαίνουν σε τέτοιες εξετάσεις κατάταξης και δύσκολα θέματα. Είναι λογικό για να μπορούν οι διαγωνιζόμενοι να αξιολογηθούν και στις λεπτομέρειες ώστε να μην υπάρχει ανάγκη κληρώσεων που είναι η ύψιστη αδικία για όσους μένουν εκτός. Ναι λοιπόν, και δύσκολα θέματα, αλλά αφού έχουν δοθεί από το κράτος οι ίδιες προσβάσεις. Δηλαδή αν για παράδειγμα όλο τον χρόνο από κάποιον ιντερνετικό ή τηλεοπτικό δίαυλο γινόταν φροντιστηριακά μαθήματα με ύλη αντίστοιχης με τα θέματα δυσκολίας θα υπήρχε μια δικαιολογία.
Αλλά ας πάμε και στα ίδια τα θέματα διότι και η επιτροπή που τα έβαλε δεν είναι άμοιρη των αδικιών που επίκειται να γίνουν με την ανακοίνωση των αποτελεσμάτων. Κατ’ αρχάς είχαν 2,5 ώρες για Νέα Ελληνικά και Μαθηματικά μαζί. Επειδή τα Νέα Ελληνικά είχαν δυο αρκετά μεγάλα κείμενα να δώσουμε την 1,5 ώρα στα Νέα; Πάντως και στην μέση να κοπεί ο χρόνος για τα Μαθηματικά είχαν 75 λεπτά για 20 προβλήματα άρα 4 λεπτά για το καθένα. Ας το κρατήσουμε αυτό για την συνέχεια.
Υπάρχει ένα θέμα που ήδη έχει προκαλέσει συζητήσεις. Είναι το εξής:
25. Σε μια κατασκήνωση κάθε παιδί έχει επιλέξει να κάνει ακριβώς ένα άθλημα. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα ποσοστά των παιδιών για διάφορους συνδυασμούς φύλου και αθλήματος. Για παράδειγμα, το 17% των παιδιών είναι αγόρια που έχουν επιλέξει μπάσκετ. Τι ποσοστό των κοριτσιών έχει επιλέξει μπάσκετ;
………………………………………………..
Άθλημα ! Αγόρια ! Κορίτσια !
………………….!…………………………..
Βόλεϊ ! 5,5 % ! 29,5% !
Ποδόσφαιρο! 29,5% ! 6,5% !
Μπάσκετ ! 17 % ! !
…………………!……………!……………!
Α. 12% Β.25% Γ. 64% Δ. 48%
Λόγω της διευκρίνισης «Για παράδειγμα, το 17% των παιδιών είναι αγόρια που έχουν επιλέξει μπάσκετ» και ειδικά του συμπλέγματος το 17% των παιδιών είναι αγόρια πρέπει και για την διπλανή στήλη να εννοηθεί ότι «το Χ% των παιδιών είναι κορίτσια που έχουν επιλέξει μπάσκετ». Αυτό μας δίνει αφού προσθέσουμε όλα τα υπόλοιπα ποσοστά ένα υπόλοιπο έως το 100% ίσο με 12%. Δηλαδή είναι το Α και όχι το Β που έδωσε η επιτροπή ως ορθό! Διότι το Β απαντά στο ερώτημα: «Τι μέρος του συνόλου των κοριτσιών έχει επιλέξει μπάσκετ».
Το ερώτημα είναι αν μπορεί εκ των υστέρων η ζημιά αυτή για έναν υποψήφιο να αποκατασταθεί. Μάλλον όχι είναι η γνώμη μου.
Θέματα όπως «24. Στρίβουμε ένα συνηθισμένο κέρμα και ρίχνουμε ένα συνηθισμένο ζάρι (με 6 έδρες). Ποιο από τα επόμενα είναι πιθανότερο να συμβεί; Α. Να έρθει «γράμματα» στο κέρμα. Β. Να έρθει 1 στο ζάρι. Γ. Να έρθει αριθμός μεγαλύτερος του 1 στο ζάρι. Δ. Να μην έρθει «γράμματα» στο κέρμα.»» που απαιτούν πιθανότητες έστω και στοιχειώδεις και άλλα που απαιτούν λύση συστήματος εξισώσεων με ποια λογική μπήκαν;
Άφησα για το τέλος και το παρακάτω:
«39. Ο Χρήστος ξεκινάει από το σπίτι του μια συγκεκριμένη ώρα κάθε ημέρα και πηγαίνει στην παραλία μέσω μιας ευθείας διαδρομής. Όταν πηγαίνει με το ποδήλατο και με σταθερή ταχύτητα 25 χιλιόμετρα την ώρα, φτάνει στις 3:00 μ.μ. Όταν πηγαίνει με τα πόδια και με σταθερή ταχύτητα 5 χιλιόμετρα την ώρα, φτάνει στις 3:40 μ.μ. Τι ώρα ξεκινάει από το σπίτι του;» .
Θα αφήσω σε όποιον είχε την υπομονή να διαβάσει έως εδώ την χαρά(;) να λύσει αυτό το πρόβλημα. Δεν παραθέτω τις 4 «απαντήσεις» διότι πιστεύω πως το πνεύμα των σωστών εξετάσεων είναι να μην περιμένουμε πως ο εξεταζόμενος θα οδηγηθεί από τις απαντήσεις στην επιλογή σωστής απάντησης(άσχετα αν δίδονται και τέτοιες συμβουλές για ώρα ανάγκης). Στο επόμενο θα δώσουμε αναλυτικά την λύση και θα δούμε εκεί τί θα ήθελαν οι εξεταστές να έχουν υπόψη τους οι δυστυχείς μαθητές και οι μαθήτριες για να απαντήσουν σωστά.
Κλείνουμε παραθέτοντας την άποψη που κάποιος πατέρας διατύπωσε μετά τις εξετάσεις : «Λυπάμαι πολύ για την κόρη μου που μελετούσε 6 χρόνια στο δημοτικό, άριστη σε όλα τα μαθήματα, ειδικά από την 5η δημοτικού ξεπατώθηκε να διαβάζει για να δώσει αυτές τις εξετάσεις για να περάσει σε ένα υποτίθεται καλό γυμνάσιο. Τα θέματα αυτά στα Μαθηματικά σίγουρα δεν λύνονται σε μια ώρα από 12χρονους μαθητές 6ηςς δημοτικού».
*Έγιναν 9.056 αιτήσεις για 1.775 θέσεις σε Πρότυπα σχολεία το 2025
Και άλλα προβλήματα
1. Πώς να αποδείξουμε ότι η παράσταση «ν2 + ν +1» δεν μπορεί σε οποιαδήποτε περίπτωση να είναι τέλειο τετράγωνο;
2. Δυο κυλινδρικά δοχεία επάνω στο τραπέζι περιέχουν νερό το καθένα μέχρις ενός επιπέδου. Μεταγγίζουμε 40% του νερού του Α στο Β οπότε το Β είναι πλήρες. Στην συνέχεια 75% του νερού από το Β μεταγγίζονται στο Α και το Α είναι πλέον πλήρες. Δεν σταματούμε όμως εδώ αλλά στην συνέχεια το 80% του περιεχομένου του Α επιστρέφεται στο Β και το γεμίζει εντελώς. Ζητείται ο λόγος της χωρητικότητας του Α προς αυτήν του Β και τί μέρος της χωρητικότητας του δοχείου Α καταλάμβανε στην αρχή των μεταγγίσεων το νερό σε αυτό.
Ευτυχώς εδώ είναι και οι λύσεις
1. Απάντηση
Δεν επιλέξαμε τυχαία αυτό το πρόβλημα. Όποιος θα το πρότεινε σε εξετάσεις με αυτήν την διατύπωση μάλλον θα αυτοπαγιδευόταν. Διότι τότε θα δημιουργείτο και εδώ πρόβλημα αν δεν διευκρινίζεται ότι ν>0. Διότι η πλήρης διερεύνηση μας επιβάλει στην αρχή να εξετάσουμε και την τιμή ν=0 όπου τότε μας προκύπτει μόνον το 1 που όμως είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα αυτό και μόνον πιθανόν να δημιουργούσε πολλές διενέξεις. Αλλά ας προχωρήσουμε στην επόμενη περίπτωση όπου ν>0. Τότε θα ισχύει και το εξής: ν2 < (ν2 + ν + 1) < (ν+1)2 και αν πάρουμε τις τετραγωνικές ρίζες και των τριών :
√ ν2 <√ ( ν2 + ν + 1) < √(ν+1)2 θα μας δώσει ότι η ( ν2 + ν + 1) βρίσκεται ανάμεσα σε δυο διαδοχικούς ακεραίους άρα αποκλείεται να είναι και αυτή ακέραιος. Δεν θα πρέπει όμως να σταματήσουμε εδώ αλλά να εξετάσουμε και την περίπτωση που ν<0. Έστω λοιπόν ότι ν=-μ με μ>0. Τότε η δοθείσα παράσταση γίνεται (μ2 –μ +1). Και θα έχουμε το εξής:
(μ2 –2μ +1) < (μ2 –μ +1) < μ2 δηλαδή (μ-1)2 < (μ2 –μ +1) < μ2 και πάλι δηλαδή μεταξύ διαδοχικών ακεραίων. Και ισχύει μόνον για μ ίσο με 0 και 1. Όλα αυτά αν δεν δοθεί από την αρχή ότι ν>0!!!
2. Απάντηση
Αν είναι α το ποσοστό που περιέχει αρχικά το πρώτο δοχείο με χωρητικότητα Α κυβικά εκατοστά και β το ποσοτό που περιέχει το δοχείο με χωρητικότητα Β οι ενέργειες που έγιναν διαδοχικά απεικονίζονται στις παρακάτω σχέσεις:
Β= 0,4α + β (1) Α = 0,75Β + 0,6α (2) Β= 0,8Α + 0,25Β (3)
Αμέσως από την (3) προκύπτει ότι A/B = (3/4)(10/8) = 15/16 Και με αντικατάσταση στην (2): A = (3/4)(16/15 A) + .6 α . Οπότε α/Α = (1/3).
Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr
