Μπορούμε να αρχίσουμε έτσι:
Ποιός θα είναι ο επόμενος στην παρακάτω ακολουθία;
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, …
Τι μπορεί να ακολουθεί μετά τον 13112221; Κάποιοι αναγνώστες ίσως κάτι να θυμούνται από την χάρτινη έκδοση της εφημερίδας παλαιότερα, κάποιοι το γνωρίζουν από αλλού, γενικά πρόκειται για μια πολυσυζητημένη ακολουθία ψηφίων. Που έγινε πολύ γνωστή διότι κίνησε την προσοχή ενός διάσημου, που του την παρουσίασε πρώτος κάποιος όχι το ίδιο διάσημος, σε ένα πάρτι στις Ηνωμένες Πολιτείες!
Ο διάσημος και από άλλες τέτοιες ενασχολήσεις Άγγλος μαθηματικός Τζον (Χ)όρτον Κόνγουεϊ(John Horton Conway, 1937-2020), το 1980 έδωσε μια συναρπαστική διάλεξη στις Ηνωμένες Πολιτείες με τίτλο: «1, 11, 21, 1211,…», που έχει μείνει ιστορική διότι τότε εμφανίστηκε στο ευρύ κοινό αυτή η ακολουθία, όπως παρατίθεται παραπάνω που ονομάστηκε όχι τυχαία «The Look and Say».
Για την διευκόλυνση της παρακολούθησης εξηγούμε πρώτα τον μηχανισμό παραγωγής των όρων. Ο καθένας αποτελεί μια σειρά από ψηφία που ακολουθούν όμως μια πολύ συγκεκριμένη λογική. Ξεκινούμε απλά από τον αριθμό 1. Ο επόμενος όρος περιγράφει τον προηγούμενο με τον εξής ιδιαίτερο τρόπο: Πρώτα αναφέρεται ποιο ψηφίο θα περιγραφεί και δίπλα του γράφεται πόσες φορές εμφανίζεται διαδοχικά μετρώντας από αριστερά προς τα δεξιά. Έτσι ο δεύτερος όρος είναι ο 11, όπου αυτός διαβάζεται «το ψηφίο 1 το έχουμε 1 φορά». Δίπλα, δεξιά γράφεται και το εν λόγω ψηφίο. Στον τρίτο όρο διαβάζοντας τον 11, θα μπει πρώτα το 2 διότι βλέπουμε δυο διαδοχικά ψηφία 1 και μετά το 1, δηλαδή 21. Για το επόμενο θα έχουμε ότι βλέποντας το 2 πρώτο(από αριστερά πάντα) να είναι μια φορά γράφουμε 1 μετά το ίδιο το 2, μετά βλέπουμε μια φορά το 1 γράφουμε 1 και δίπλα το 1 άρα τελικά προκύπτει ο 1211. Έτσι προκύπτουν και οι επόμενοι όροι.
Οπότε ο αναγνώστης τώρα θα μπορεί μάλλον να απαντήσει ποιος είναι ο επόμενος του 13112221. Το κάπως πιο δύσκολο ίσως θα είναι να απαντήσει αν στην συνέχεια: «θα προκύψουν και άλλοι θετικοί ακέραιοι, 4, 5, 6 … κλπ.;». Υπάρχει απόδειξη με την μέθοδο της επαγωγής αλλά εδώ θα δώσουμε μια άλλη εξήγηση όχι και τόσο αυστηρή που θα βοηθήσει όμως να καταλάβουμε εντελώς την «συμπεριφορά» της πολύ ενδιαφέρουσας αυτής ακολουθίας.
Κατ’ αρχάς η απάντηση είναι όχι. Θα εμφανίζονται πάντα μόνον οι 1,2 και 3. Και να δούμε γιατί θα συμβαίνει αυτό. Κλειδί για την κατανόηση είναι το εξής: τα ψηφία στον κάθε όρο πρέπει να μάθουμε να τα χωρίζουμε σε δυο κατηγορίες. Αν δανειστούμε κάτι από την γλωσσολογία, θα έχουμε σημαίνον και σημαινόμενο. Σημαίνον(Σ) είναι το ψηφίο που αναφέρει πόσα ίδια ψηφία βλέπουμε και σημαινόμενο (σ) είναι το ίδιο το ψηφίο. Δηλαδή στον όρο 13112221 έχουμε ΣσΣσΣσΣς. Με Σ=1 σ=3, Σ=1, σ=1, Σ=2, σ=2, Σ=2, σ=1. Έτσι, με αυτόν τον διαχωρισμό σε δυάδες με συγκεκριμένους ρόλους μέσα στο ζευγάρι, όσο και αν προσπαθήσει κάποιος δεν θα του προκύψουν με οποιονδήποτε τρόπο περισσότερα από 3 ίδια ψηφία άρα το 4 δεν θα εμφανιστεί, ούτε και οι παραπάνω θετικοί ακέραιοι.
Το πλήθος των ψηφίων σε κάθε όρο αυξάνεται όσο προχωρούμε αλλά αποδεικνύεται ότι ο λόγος του αριθμού τους δηλαδή πόσα έχει ο (ν+1) ως προς τα όσα έχει ο ν σταθεροποιείται
σχεδόν κοντά στο 1,3 που ονομάστηκε, όπως θα ήταν και λογικό και δίκαιο «Conway’s constant».
*Αυτός θα είναι ο ζητούμενος επόμενος όρος: 1113213211
Ωχ και άλλα προβλήματα;
1. Για τους μικρότερους φίλους μας:
Α)Ένα ποτήρι περιέχει κατά το μισό της χωρητικότητάς του κρασί. Ένα άλλο ποτήρι, με διπλάσια χωρητικότητα από το πρώτο περιέχει κρασί κατά το ένα τέταρτο της χωρητικότητάς του. Όπως είναι τα γεμίζουμε και τα δυο, συμπληρώνοντας έως τα χείλη τους με νερό. Αδειάζουμε το περιεχόμενο και των δυο σε ένα μεγαλύτερο δοχείο. Τί κλάσμα του όλου υγρού είναι πλέον το κρασί;
Β) Ένα μανταρίνι χωρίς την φλούδα του ζυγίζει όσο τα (9/10) του βάρους του συν (9/10) του γραμμαρίου. Πόσα γραμμάρια είναι το βάρος αυτού του μανταρινιού;(Πώς θα το εξηγήσουμε σε ένα παιδί που δεν έχει μπει ακόμη στις εξισώσεις; )
2. Και αυτό δεν χρειάζεται άλλα από τα Μαθηματικά του Λυκείου αλλά θέλει προσοχή: Για έναν θετικό ακέραιο ν συμβολίζουμε κάθε φορά με φ(ν) τον μικρότερο ακέραιο που είναι πιο κοντά στην «τέταρτη ρίζα του ν», δηλαδή στον αριθμό [(ν)(1/4)]. Να βρεθεί πόσους όρους φ(ν) πρέπει να προσθέσουμε για να μας δώσουν άθροισμα το 100 (ψάχνουμε δηλαδή με άλλα λόγια εκείνο το μ που θα κάνει το Σ[φ(ν)] με ν από 1 έως μ, ίσο με 100) .
Ευτυχώς εδώ είναι και οι απαντήσεις
1. Απάντηση
Α) Αν V είναι ο όγκος του μικρού ποτηριού, στο μεγάλο ποτήρι έχουμε κρασί με όγκο (2x(V /4)) δηλαδή (V/2). Το κρασί λοιπόν έχει συνολικό όγκο(και στα δυο ποτήρια) όσος είναι ο όγκος V του μικρότερου ποτηριού. Το νερό που βάλαμε στο μικρότερο ποτήρι ήταν το μισό του όγκου του άρα (V/2). Στο μεγάλο ποτήρι ο όγκος που έμενε χωρίς κρασί ήταν τα [(3/4)x2V] και συμπληρώθηκε ο όγκος του με νερό. Άρα το νερό ήταν συνολικά (1/2) V + (3/2) V = 2 V. Συνολικά κρασί και νερό είχαν όγκο 3 V και το κρασί ήταν το (1/3).
Β) Ας υποθέσουμε πως το μανταρίνι μας έχει δέκα ίσες σε βάρος φέτες. Άρα τα (9/10) αντιστοιχούν στις 9 από τις 10 φέτες. Μας μένει το (1/10) ακόμη που είναι η δέκατη φέτα. Θα πρέπει λοιπόν να σκεφθούμε πως αυτό το (9/10) του γραμμαρίου είναι ό,τι λείπει σε βάρος(το συμπληρώνει κατά κάποιο τρόπο) για να έχουμε ολόκληρο το βάρος του μανταρινιού. Αφήνουμε τις 9 φέτες εκτός προς το παρόν, και σκεπτόμαστε ότι για αυτή την μια που λείπει, και είναι το (1/10) του μανταρινιού, θα αντισταθμίζεται το βάρος της από αυτά τα (9/10) του γραμμαρίου. Άρα αυτά τα (9/10) του γραμμαρίου μαζί με τις άλλες 9 φέτες κάνουν το βάρος ολόκληρου του μανταρινιού. Έτσι προκύπτει ότι η μια φέτα έχει βάρος (9/10) του γραμμαρίου οι δέκα φέτες θα έχουν βάρος 10x(9/10) του γραμμαρίου δηλαδή 9 γραμμάρια.
2. Απάντηση
Ξεκινούμε από την τέταρτη ρίζα του ν, κατ’ αρχάς όταν η πλησιέστερη και μικρότερη ακέραια τιμή της βρίσκεται μεταξύ 0,5 και 1,5. Δηλαδή
0,5 <φ(ν)=[(ν)(1/4)]< 1,5 . Υψώνουμε στην τέταρτη δύναμη όλα τα μέλη και παίρνουμε 0,635<[φ(ν)]4<1,5. Παρατηρούμε ότι για τις εξής ακέραιες τιμές του ν: 1,2,3,4,5 για όλες αυτές, ο πιο κοντινός μικρότερος ακέραιος θα είναι το 1. Διότι π.χ. η τέταρτη ρίζα τουφ(1)=1, η τέταρτη ρίζα του 2 η φ(2)= 1,189, …, η τέταρτη ρίζα του 5 η φ(5)=1,49, και όλοι αυτοί έχουν ως ακέραιο μέρος τον 1. Να λοιπόν οι πέντε πρώτοι προσθετέοι στον δρόμο για το 100. Το άθροισμα των ακεραίων μερών τους: 1+1+1+1+1 θα είναι ίσο με 5. Προχωρούμε στο διάστημα (1,5 με 2,5). Εκεί δηλαδή που 1,5<(ν)(1/4)<2,5. Υψώνουμε στην τέταρτη δύναμή και προκύπτει ότι 5,065<ν<39,065. Άρα το ν παίρνει όλες τις ακέραιες τιμές από 6 έως 39 συνολικά 34 τιμές και για το φ(ν), την ΄τεταρτη ρίζα δηλαδή για όλες αυτές τις τιμές(6,…,39)ο πιο κοντινός ακέραιος είναι ίσος με 2. Άρα στο άθροισμα των όρων που ψάχνουμε έχουμε προς το παρόν 5×1 + 34×2 = 73. Έχουμε λίγο δρόμο ακόμη έως το 100.
Ψάχνουμε τώρα το διάστημα 2,5<(ν)(1/4)<3,5. Υψώνουμε στην τέταρτη δύναμη και έχουμε 39,065<ν<150,0625. Με την φ(ν) για όλες αυτές τις τιμές να έχει για πλησιέστερο ακέραιο τον 3. Άρα με τις τιμές του ν να αρχίζουν από το 40 (40, 41, 42, …), θα κρατήσουμε όσους όρους μας χρειάζονται ώστε να φθάσουμε σε άθροισμα 100. Είχαμε φθάσει στο 73 άρα μας χρειάζονται ακόμη 100-73=27 μονάδες δηλαδή (27/3)=9 ακόμη τριάρια. Άρα ο αριθμός των όρων που θα πρέπει να αθροιστούν (είναι ο ζητούμενος μ) θα είναι: μ=5+34+9=48.
Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr.
