Τα κόλπα με τα κλάσματα

Το συμπέρασμα που είχε προκύψει από τα όσα ενδιαφέροντα είδαμε σχετικά με τη μετατροπή των κλασμάτων σε δεκαδικούς αριθμούς ήταν ότι «γενικά σε ένα κλάσμα (μ/ν), θετικό και μικρότερο της μονάδας, αν δεν προκύπτει τελικά μια διαίρεση με μηδέν υπόλοιπο τότε το υπόλοιπο αναγκαστικά θα είναι ένας αριθμός ακέραιος που θα κυμαίνεται από το 1 έως το (ν-1). Και όταν κάποια στιγμή εμφανιστεί ξανά το ίδιο υπόλοιπο, τότε η διαδικασία γίνεται κάτι σαν ένας ατέρμων βρόχος πλέον, όπου θα επαναλαμβάνεται το ίδιο μπλοκ ξανά και ξανά. Και το μέγεθός του θα είναι από 1 έως το πολύ (ν-1)». Αυτές τις πληροφορίες λοιπόν μπορούμε να αντλήσουμε σχετικά με τη μετατροπή ενός κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό όταν η διαίρεση του αριθμητή από τον παρονομαστή «επιμένει» να μην αφήνει υπόλοιπο ίσο με το μηδέν.

Είναι άραγε τέλεια η διαίρεση;

Ας δούμε τώρα τι χρήσιμο μπορεί να μας δώσει η εξέταση κλασμάτων που η διαίρεση του αριθμητή από τον παρονομαστή είναι όπως λέμε τέλεια, δηλαδή με μηδενικό υπόλοιπο. Μπορούμε άραγε να αναγνωρίσουμε «από μακριά» αν η μετατροπή ενός κλάσματος σε δεκαδικό θα δώσει έναν άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων ή όχι;

Ξεκινούμε από την παρατήρηση πως οι παρονομαστές που αναλύονται σε γινόμενα του 2 και του 5, στη μετατροπή τους σε δεκαδικούς δεν δίνουν άπειρα δεκαδικά ψηφία αλλά σταματούν σε πεπερασμένο αριθμό. Γενικά δηλαδή το κλάσμα (μ/ν) έχει πεπερασμένο αριθμό ψηφίων αν ο παρονομαστής μ μπορεί να πάρει τη μορφή ν = 2^α  Χ 5^β  όπου τα α και β μπορούν να είναι μηδέν ή θετικοί ακέραιοι. Και όλα αυτά συμβαίνουν διότι το 2 και το 5 είναι παράγοντες του 10 (το γινόμενό τους δίνει 10) και δουλεύουμε στο δεκαδικό σύστημα [διότι σε σύστημα με βάση το 3, το γνωστό μας και ατέρμον (1/3), θα είχε την απλούστατη μορφή (0,1) χωρίς άλλα δεκαδικά ψηφία!].

Επίσης δεν είναι απαραίτητο ο αριθμητής να είναι ίσος με 1. Για παράδειγμα, για το (1/40) καταλαβαίνουμε πως θα δώσει πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών (= 0,025), αφού το 40 γράφεται και 2³  Χ 5¹,  οπότε ας μην έχουμε αμφιβολία και για το (7/40), αφού θα είναι απλώς 7 Χ (1/40) = 7 Χ 0,025 και το 7 δεν έχει καν δεκαδικά ψηφία.

Από δεκαδικό σε κλάσμα

Και για το τέλος το καλύτερο. Η γρήγορη μετατροπή ενός δεκαδικού σε κλάσμα ακόμα και όταν δεν έχει πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. Π.χ. ο 0,6363…

Θέτουμε  Α = 0,6363… Και πολλαπλασιάζουμε επί 100 (τόσα μηδενικά όσο είναι το μήκος του επαναλαμβανόμενου μπλοκ). 100 Χ Α = 63,63… άρα 100 Χ Α = 63 + Α, οπότε 99 Χ Α = 63 και Α = (63/99) ή (7/11).

Αυτά για τους ρητούς αριθμούς, για εκείνους δηλαδή τους αριθμούς που μπορούν να γράφονται και ως κλάσματα, άρα ως λόγος δύο ακεραίων αριθμών.

Πνευματική γυμναστική

1 Κάποιος μπαίνει σε κατάστημα λιανικής και καταφέρνει να κλέψει από το ταμείο ένα χαρτονόμισμα των 100 ευρώ. Δεν φεύγει αλλά παίρνει ένα σερβίτσιο που κόστιζε 70 ευρώ και πληρώνει με το κλεμμένο χαρτονόμισμα. Βγαίνει με το σερβίτσιο και με τα 30 ευρώ ρέστα από το κατοστάρικο. Πόση ήταν η ζημιά του καταστηματάρχη; (Το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει προκαλέσει αρκετές συζητήσεις στο Διαδίκτυο.)

2 Ενα από τα τεστ για τον κορωνοϊό έχει 90% πιθανότητα να εντοπίσει τον ιό σε έναν άνθρωπο αν αυτός έχει κολλήσει πραγματικά. Αλλά και αν κάποιος δεν έχει κολλήσει η πιθανότητα για σωστή διάγνωση είναι 93%. Αν υποθέσουμε πως από τις μελέτες βγαίνει μέχρι στιγμής ότι 0,008% είναι το ποσοστό του πληθυσμού που σίγουρα έχει προσβληθεί από τον ιό και από αυτά τα τεστ του φαρμακείου τώρα κάνουμε ένα και βγει θετικό ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε πραγματικά κολλήσει;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ
1. Είχαμε να υψώσουμε το 9 στην 99 . Και επειδή 99 = 387.420.488 το πρώτο εννιάρι θα υψωθεί τελικά σε αυτή τη δύναμη: 9387.420.488 . Δεν ζητούσαμε πόσο κάνει αυτό αλλά πόσα ψηφία θα έχει ο αριθμός που θα προκύψει αν κάνουμε τις πράξεις (να πολλαπλασιάσουμε το 9 με τον εαυτό του 387.420.488 φορές). Για να το βρούμε παίρνουμε τον δεκαδικό λογάριθμο, δηλαδή log(9387.420.488), που δίνει το γινόμενο: (387.420.488) Χ log(9), δηλαδή (387.420.488) Χ (0,9542425094) = 369.693.098,6. Ο αριθμός που ο λογάριθμός του με βάση το 10 είναι 369.693.098,6 βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 369.693.098 και 369.693.099. Οπότε το 9 υψωμένο στην 99 θα είναι ίσο με 10369.693.099 οπότε (μπορούμε να προβλέψουμε πως) θα είναι ένας αριθμός με 369.693.099 ψηφία! Στο προηγούμενο είχαμε γράψει πως θα έχει 369.693.098 ψηφία, αλλά μια προσεκτικότερη εξέταση (γι’ αυτό το 0,6 στο τέλος του 369.693.098,6) δίνει το κατά ένα ακόμη ψηφίο μεγαλύτερο αποτέλεσμα 369.693.099. Κάτι που μας υπέδειξε και ο αναγνώστης μας κ. Ν. Κασσιμάτης.
2. Επειδή η προτροπή για να εξηγηθεί, χωρίς να καταφύγουμε σε σύστημα εξισώσεων, το πρόβλημα με τα βάρη που είχαν φορτωθεί από το αφεντικό τους ένας όνος και ένας ημίονος είχε πρωτοφανή απήχηση στους πιστούς της σελίδας, δώσαμε και το παρακάτω με την ίδια προτροπή για την εξήγηση της λύσης και των απαραίτητων εννοιών σε παιδιά χωρίς γνώσεις άλγεβρας: Αν 4 βάτραχοι γενούν 4 αβγά σε 4 ημέρες, 3 πάπιες 3 αβγά σε 3 ημέρες και 2 κότες γεννούν 2 αβγά δύο φορές σε 2 ημέρες, πόσα αβγά γεννούν 1 βάτραχος, 1 πάπια και 1 κότα συνολικά στο διάστημα από 1η Φεβρουαρίου έως 31 Μαρτίου σε ένα δίσεκτο έτος; Παίρνουμε την πιο κατανοητή περίπτωση και παρατηρούμε πως από τις 3 πάπιες στο τέλος της τρίτης ημέρας έχουμε στα χέρια μας 3 αβγά. Επομένως μπορούμε να σκεφθούμε πως κάθε ημέρα γεννούσε μόνο η μία από τις πάπιες, άρα 1 πάπια 1 αβγό κάθε 3η ημέρα. Το ίδιο και με τους βατράχους, 1 βάτραχος 1 αβγό κάθε 4η ημέρα. Για τις κότες έχουμε 2 κότες κάνουν 4 αβγά κάθε 2 ημέρες, άρα 1 κότα κάνει 2 αβγά κάθε 2 ημέρες ή 1 κότα κάνει 1 αβγό την ημέρα. Οι ημέρες βγαίνουν 60 (29+31), οπότε από την κότα θα παίρναμε 60 αβγά, από την πάπια (60/3)=20 και από τον βάτραχο (60/4)=15, δηλαδή 95 συνολικά.