Ικεσία στην εικασία

Ποιος σας είπε ότι οι αριθμοί είναι αθώοι; Τους καταλογίζουμε αναρίθμητα παιχνίδια, παιχνίδια παράξενα. Για του λόγου το αληθές σκεφθείτε έναν τυχαίο τριψήφιο αριθμό ­ τον 158 λόγου χάρη. Κάντε τον εξαψήφιο κολλώντας ξανά τον εαυτό του στο τέλος. Εχετε τώρα τον αριθμό 158.158. Διαιρέστε τον με το 7. Το αποτέλεσμα είναι 22.594 χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Διαιρέστε αυτό το πηλίκο με το 11. Πάλι η διαίρεση δεν αφήνει υπόλοιπο και το πηλίκο είναι 2054. Τέλος διαιρέστε το πηλίκο με το 13. Τι παράξενο! Ξανά μια τέλεια διαίρεση. Και όχι μόνον αυτό: το αποτέλεσμα είναι ο αρχικός αριθμός, ο 158! Τι ακριβώς συμβαίνει εδώ; Μήπως οι αριθμοί έχουν κάποια εσωτερική σχέση, μια απόκρυφη αρμονία και δεν είναι απλά σύμβολα που το ένα ακολουθεί το άλλο;

Η εξιχνίαση αυτών των ιδιαίτερων σχέσεων των αριθμών έχει γοητεύσει τους ανθρώπους από την αυγή του πολιτισμού. Οταν αυτή η διανοητική πρόκληση για τα άλυτα προβλήματα των αριθμών διαμορφώθηκε ως αποδεικτική επιστήμη από τον Πυθαγόρα, ξεκίνησαν τα μαθηματικά. Η έρευνα των σχέσεων μεταξύ των αριθμών (η Θεωρία των Αριθμών ή Αριθμοθεωρία) ήταν πάντα ένας ιδιαίτερος κλάδος των μαθηματικών, μια καθαρή επιστήμη που συχνά γέννησε νέους τομείς στην έρευνα, αν και ως τα μέσα του 20ού αιώνα δεν διέθετε πρακτικές εφαρμογές· τις απέκτησε αναπάντεχα με την εξέλιξη της τεχνολογίας σε τόσο ετερογενείς τομείς όπως η δημιουργία κρυπτογραφικών αλγορίθμων, η έρευνα του DNA, η βελτιστοποίηση της χρήσης της μνήμης των υπολογιστών ή ο προγραμματισμός περίπλοκων τουρνουά τένις. Ο μόνος στόχος της Αριθμοθεωρίας ωστόσο παρέμενε η λύση των γρίφων των αριθμών, επιδεικνύοντας παγερή αδιαφορία για την πρακτική χρησιμότητα των αινιγμάτων με τα οποία καταπιανόταν.

Ενα τέτοιο διάσημο αίνιγμα ήταν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, που χρονολογείται στα 1637 (Πιερ ντε Φερμά, γάλλος ερασιτέχνης μαθηματικός)· το άλλο είναι η Εικασία του Γκόλντμπαχ, που χρονολογείται στα 1742.

Το 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ, μαθηματικός και οικοδιδάσκαλος στην οικογένεια του τσάρου της Ρωσίας, έστειλε μια επιστολή στον μεγάλο μαθηματικό Λέοναρντ Οϊλερ. Εκεί ανέφερε πως πιστεύει ότι «κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών» (πρώτοι αριθμοί είναι εκείνοι που δεν διαιρούνται παρά με τον εαυτό τους, όπως 3, 5, 7, 11, και είναι άπειροι το πλήθος, κάτι που απέδειξε ο Ευκλείδης τον 3ο αιώνα π.Χ.). Ο Οϊλερ, του οποίου τα ενδιαφέροντα απλώνονταν σε ένα πολύ μεγάλο φάσμα ­ από την κίνηση των ουρανίων σωμάτων ως το σύστημα συνταξιοδότησης των υπαλλήλων της Πρωσικής αυτοκρατορίας ­, διαισθάνθηκε αμέσως ότι η πρόταση αυτή έπρεπε να ισχύει, αλλά δεν ασχολήθηκε σοβαρά με την απόδειξή της. Την κληροδότησε στις νεότερες γενιές μαθηματικών, που από τότε προσπαθούν να μετατρέψουν αυτή την Εικασία (που πήρε το όνομα του Γκόλντμπαχ) σε θεώρημα, να βρουν δηλαδή εκείνη την αλυσίδα λογικών συλλογισμών που αποδεικνύουν την αλήθεια της. Την πεποίθηση αυτή έχουν ενισχύσει ισχυρότατοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, που έχουν αποφανθεί ότι πράγματι η Εικασία αληθεύει ως τον τεράστιο αριθμό 1014. Η απόδειξη όμως, αν υπάρχει, δεν έχει ακόμη βρεθεί.

Ποια σχέση λοιπόν μπορεί να έχει ένας απόμαχος γεράκος, ο Πέτρος Παπαχρήστου, που ζει απομονωμένος στην Εκάλη με μοναδική παρέα τα φυτά του κήπου του και τα κομμάτια της σκακιέρας του και που η οικογένειά του τον θεωρεί «το μαύρο πρόβατο της οικογένειας (…) έναν αποτυχημένο της ζωής», με την τρομερή Εικασία του Γκόλντμπαχ; Αυτό αναρωτιέται ο ανιψιός του και αφηγητής στο βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ, καθώς ανηφορίζει προς την Εκάλη για να ζητήσει από τον παράξενο θείο του, μαθηματικό στα νιάτα του απ’ ό,τι έχει ακουστά, έναν χρησμό: θέλει να γίνει και ο ίδιος μαθηματικός· να το τολμήσει ή όχι;

Ο θείος Πέτρος, αφού πρώτα ρωτήσει τον ανιψιό του «Τι είναι τα μαθηματικά κατά τη γνώμη σου;», του δηλώνει ποια είναι η στόφα του μαθηματικού κατά τη δική του γνώμη: «Η ψυχολογία του μαθηματικού μοιάζει περισσότερο με του ποιητή ή του μουσικοσυνθέτη, μ’ άλλα λόγια του ανθρώπου που έχει σκοπό του τη δημιουργία του Ωραίου, την αναζήτηση της Αρμονίας, της Τελειότητας». Κατόπιν αποφαίνεται πως αν το «προσφιλές ανηψούδι» του ­ ξαφνιάζοντάς το με αυτόν τον χαρακτηρισμό ­ περάσει επιτυχώς και με αμιγώς αγωνιστικό πνεύμα μια δύσκολη δοκιμασία μαθηματικής επιβίωσης λύνοντας ένα δύσκολο πρόβλημα, και μόνον τότε, θα έχει τη στόφα του μαθηματικού και θα καταφέρει να ακολουθήσει αυτόν τον δύσκολο και μοναχικό δρόμο που διάλεξε.

Θα μπορέσει άραγε ο ανιψιός να επιβεβαιώσει την εικασία του, ότι δηλαδή έχει γεννηθεί για να γίνει μαθηματικός; Η συνέχεια είναι μια τόσο γοητευτική περιπλάνηση στον κόσμο των μαθηματικών, αλλά και στον εσωτερικό κόσμο του θείου Πέτρου, που αν λέγαμε πως εκείνο που ο θείος Πέτρος ζήτησε από τον ανιψιό του να λύσει ήταν… θα χαλάγαμε το σασπένς του βιβλίου, το οποίο διαβάζεται απνευστί ως ένα αφήγημα «διανοητικής φαντασίας». Σε αυτή την αφήγηση παρακολουθούμε τον νεαρό θείο Πέτρο, μια μαθηματική ιδιοφυΐα που έχει ανακαλύψει μόνος του την Εικασία του Γκόλντμπαχ «… σίγουρος ότι έχει γενική ισχύ», να μαθητεύει στο Βερολίνο, δίπλα στον μεγάλο έλληνα μαθηματικό Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή, και να θέλει να γίνει μεγάλος μαθηματικός, πώς; ­ «Πολύ απλά: λύνοντας ένα Μεγάλο Μαθηματικό Πρόβλημα!», δηλαδή την Εικασία του Γκόλντμπαχ. Αυτή η παθιασμένη και μονομανής ενασχόληση θα τον φέρει κοντά σε σημαντικές μαθηματικές ιδιοφυΐες. Καθώς ο θείος Πέτρος αφηγείται τη σπαταλημένη του ζωή, έχουμε την ευκαιρία να γνωρίσουμε από κοντά ­ τόσο κοντά που τους ακούμε να αναπνέουν ­ πραγματικούς μαθηματικούς, όπως ο αυτάρεσκος άθεος ειρηνιστής Χάρντυ, ο πρακτικότερος συνεργάτης του Λίτλγουντ, ο Ramanujan, το παιδί-θαύμα από την Ινδία, που ήταν «φτιαγμένος από τη στόφα του Αρχιμήδη» και που ισχυριζόταν πως η αγαπημένη του ινδουιστική θεότητα, η Ναμακίρι, του αποκάλυπτε στα όνειρα του όλα εκείνα τα εκπληκτικά αποτελέσματα, και τέλος να συναντηθούμε στη Βιέννη με τον ιδιόρρυθμο Γκέντελ και στο Κέιμπριτζ με τον ενθουσιώδη και ντροπαλό Τιούρινγκ. Μια από τις κύριες κορυφώσεις της αφήγησης είναι και η ανακάλυψη, στη διάρκεια της μαθηματικής καριέρας του θείου Πέτρου, του θεωρήματος του Γκέντελ. Το κορυφαίο αυτό θεώρημα δεν αφορά μόνο τα μαθηματικά, αλλά κυριολεκτικά την ύπαρξή μας· οι προεκτάσεις του θέτουν ζητήματα όπως το κατά πόσον μερικές αλήθειες θα είναι εσαεί απροσπέλαστες από τον ανθρώπινο νου, με τη βασανιστική coda ότι ο νους δεν γνωρίζει a priori ποιες αλήθειες είναι προσπελάσιμες και ποιες όχι. Μία ακόμη συνέπεια του θεωρήματος αυτού είναι πως σχεδόν αποκλείει ότι θα μπορούσαν να κατασκευαστούν τεχνητές ευφυΐες ανώτερες από τις ανθρώπινες, με την ικανότητα να λύνουν προβλήματα που ο ανθρώπινος νους δεν είναι φτιαγμένος για να λύνει. Το θεώρημα του Γκέντελ όμως έχει άμεσες συνέπειες και για τον θείο Πέτρο: όταν ο γνώριμός του από το Κέιμπριτζ, ο Αλαν Τιούρινγκ, του ανακοινώνει προσωπικά ότι σε συνέχεια του θεωρήματος του Γκέντελ απέδειξε «το αδύνατο της απόδειξης της a priori αποδειξιμότητας κάθε συγκεκριμένης πρότασης» ο θείος Πέτρος νιώθει τη γη να φεύγει κάτω από τα πόδια του.

ΗΕικασία του Γκόλντμπαχ μπορεί να είναι ένα πρόβλημα χωρίς λύση, αλλά δυστυχώς αυτό δεν θα μπορέσει ποτέ να το ξέρει από πριν. Είναι αυτό το τέλος των Μαθηματικών; Τι σημαίνει για τους μαθηματικούς και για τα αποθέματα ψυχικής και διανοητικής ενέργειας που πρέπει να διαθέτουν, όταν κάποιος αποδεικνύει, με τον πλέον επίσημο και γενικό τρόπο, πως μπορεί να σπαταλήσουν τη ζωή τους κυνηγώντας χίμαιρες; Κρίσιμα ζητήματα, στα οποία ο θείος Πέτρος (αλλά και κάθε εφήμερο σκεπτόμενο ον) πρέπει να πάρει θέση, αν θέλει να βρει την εσωτερική γαλήνη, χωρίς όμως να τα χρησιμοποιήσει ως υπεκφυγές προκειμένου να εγκαταλείψει τη μάχη. Μήπως όμως αυτό είναι το τέλος για τον μαθηματικό θείο Πέτρο;

Αλλά τα δώρα του βιβλίου δεν σταματούν εδώ. Ο Θείος Πέτρος, ο οποίος μεταθανάτια γνωρίζει πολύ μεγάλη επιτυχία στο εξωτερικό, θυμίζει λίγο Το Ονομα του Ρόδου του Εκο, κατά τούτο: όπως ο χαμένος τόμος της Ποιητικής του Αριστοτέλη ήταν μόνο η αφορμή για ένα βιβλίο με πολλαπλές αναγνώσεις, έτσι και η αναζήτηση της απόδειξης της Εικασίας του Γκόλντμπαχ είναι μόνο το πρόσχημα. Το βιβλίο διαβάζεται ως ένα αστυνομικό διήγημα όπου ένα αίνιγμα περιμένει την εξιχνίασή του, διαβάζεται όμως και ως ένα ανάγνωσμα για τις βασικές αξίες της ζωής.

* «Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ» πρωτοκυκλοφόρησε στα ελληνικά το 1992 από τις εκδόσεις Καστανιώτη. Το βιβλίο θα επανακυκλοφορήσει σύντομα, βασισμένο στο ξαναδουλεμένο αγγλικό κείμενο.

Ο κ. Γιώργος Ναθαναήλ είναι σύμβουλος Πληροφορικής.