• Αναζήτηση
  • Περί επιφανειών και σχημάτων

    Δεν υπάρχουν πολλές ειδήσεις από τον κόσμο των μαθηματικών που φτάνουν στα αφτιά του ευρέος κοινού. Αλλά η Τρίτη 22 Αυγούστου 2006 υπήρξε μια εξαίρεση.

    Σουφλέρη Ιωάννα Α
    Donal O’Shea
    Ο τελευταίος πανεπιστήμονας: ο Ανρί Πουανκαρέ και η Εικασία του

    Εκδόσεις Τραυλός
    σελ.464, τιμή 20 ευρώ

    Δεν υπάρχουν πολλές ειδήσεις από τον κόσμο των μαθηματικών που φτάνουν στα αφτιά του ευρέος κοινού. Αλλά η Τρίτη 22 Αυγούστου 2006 υπήρξε μια εξαίρεση. Ηταν η ημέρα απονομής των βραβείων Fields (των Νομπέλ των μαθηματικών) και για πρώτη φορά στην ιστορία τους ο επιφανέστερος των τεσσάρων τιμωμένων, ο Ρώσος Γκριγκόρι Πέρελμαν (Grigory Perelman), αρνήθηκε να παρευρεθεί και να παραλάβει το βραβείο του. Η είδηση έκανε τον γύρο του κόσμου και μαζί με τις εικασίες για τους λόγους που οδήγησαν τον Πέρελμαν να «κρυφτεί» κάπου στην Αγία Πετρούπολη, όλοι μάθαμε και για την εικασία του Πουανκαρέ, τον επί έναν αιώνα άλυτο μαθηματικό γρίφο που επιτέλους είχε λυθεί από τον ρώσο μαθηματικό.

    Το πόνημα του καναδού γεωμέτρη Ντόναλ Ο’ Σι «Ο τελευταίος πανεπιστήμονας: ο Ανρί Πουανκαρέ και η Εικασία του» καταγράφει την ιστορία του γρίφου αρχίζοντας πολύ πριν από αυτόν, και ειδικότερα από τη συνειδητοποίηση ότι η επιφάνεια της Γης είναι μια δισδιάστατη σφαίρα. Με αναφορές από τους Ιωνες και τον Πυθαγόρα ως τον Κολόμβο, ο συγγραφέας μάς εισάγει στις διαδρομές του ανθρώπινου πνεύματος ώσπου να καταλήξουμε σε αυτό το μη προφανές συμπέρασμα για εποχές που δεν υπήρχαν αεροπορικά ταξίδια. Στη συνέχεια, αφού αναπτύξει τα της ευκλείδειας και της υπερβολικής γεωμετρίας, φτάνει στα άρθρα του Ανρί Πουανκαρέ τα οποία δημοσιεύθηκαν από το 1895 ως το 1904. Με αυτά ο γάλλος μαθηματικός είχε θέσει τις βάσεις του πεδίου της τοπολογίας.
    Οσο για την περίφημη εικασία του, η οποία διατυπώθηκε το 1904, αυτή αφορά τρισδιάστατες επιφάνειες. Για να γίνει ωστόσο κατανοητή, είναι καλύτερα να κατέβουμε ένα επίπεδο και να εξετάσουμε την επιφάνεια μιας σφαίρας, η οποία, παρότι «κατοικεί» σε τρεις διαστάσεις, είναι δισδιάστατη. Αυτή η επιφάνεια διαθέτει δύο σημαντικές ιδιότητες: δεν έχει όρια (όταν περπατά κανείς γύρω της, δεν πρόκειται να πέσει από κάποια άκρη) και όταν δένει κανείς ένα σκοινί γύρω από τη σφαίρα, μπορεί πάντα να το αφαιρέσει τραβώντας το. Οι ιδιότητες αυτές συνεχίζουν να ισχύουν αν αλλάξει το σχήμα της σφαίρας, χωρίς όμως αυτή να σκιστεί (παραδείγματος χάριν, ισχύουν αν η σφαίρα πάρει σχήμα ωοειδές ή όταν μια μπάλα χάσει αέρα και γίνει πεπλατυσμένη). Αντιθέτως, δεν ισχύουν στην περίπτωση ενός ντόνατ, όπου ο μόνος τρόπος να αφαιρέσει κανείς μια κλωστή περασμένη από την τρύπα του είναι να κόψει την κλωστή ή το ντόνατ. Το σημαντικό στην προκειμένη περίπτωση είναι ότι οποιαδήποτε επιφάνεια διαθέτει τις παραπάνω δύο ιδιότητες μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια σφαίρα. Η εικασία του Πουανκαρέ αποτελεί το τρισδιάστατο ισοδύναμο της παραπάνω κατάστασης, όπως περιγράφεται στο κεφάλαιο 10 του βιβλίου.
    Ο αγώνας δρόμου για να αποδειχθεί η ορθότητα της εικασίας του Πουανκαρέ είναι αφορμή για τον συγγραφέα να αφηγηθεί στη συνέχεια την ιστορία της τοπολογίας στον 20ό αιώνα με γλώσσα που είναι κατανοητή στον απλό αναγνώστη. Οσο για εκείνους που θέλουν να εμβαθύνουν, μπορούν να το κάνουν χάρη στις εκτενείς σημειώσεις στο τέλος του βιβλίου.

    ΕΝΤΥΠΗ ΕΚΔΟΣΗ

    Science